Liste des polyèdres uniformes

Cette liste recense les polyèdres uniformes, ainsi que certaines de leurs propriétés.

page connexe : Polyèdre régulier

Méthodologie

Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal (c'est-à-dire que pour tout couple de ses sommets, il existe une isométrie du polyèdre qui transforme l'un en l'autre).

Les polyèdres uniformes suivants existent :

La liste inclut, les 76 polyèdres précédents, ainsi que quelques exemples de prismes et d'antiprismes.

Elle n'inclut par les éléments suivants :

  • les 40 polyèdres uniformes potentiels avec des figures de sommet dégénérées qui ont des arêtes qui se chevauchent (non comptés par Coxeter) ;
  • les pavages uniformes (en) :

Table des polyèdres

Les formes convexes sont listées en ordre de degrés de configuration de sommet à partir de 3 faces/sommet et au-dessus, et en augmentant les côtés par face. Cet ordre permet de montrer des similarités topologiques.

Formes convexes (3 faces/sommet)

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Configuration de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Tétraèdre R 2 3
3.3.3 		Tet Td W001 U01 K06 4 6 4 2 4×{3}
Prisme triangulaire P 2
3.4.4 		Trip D3h — — — 6 9 5 2 2×{3}+3×{4}
Tétraèdre tronqué A 3
3.6.6 		Tut Td W006 U02 K07 12 18 8 2 4×{3}+4×{6}
Cube tronqué A 4
3.8.8 		Tic Oh W008 U09 K14 24 36 14 2 8×{3}+6×{8}
Dodécaèdre tronqué A 5
3.10.10 		Tid Ih W010 U26 K31 60 90 32 2 20×{3}+12×{10}
Cube R 2 4
4.4.4 		Cube Oh W003 U06 K11 8 12 6 2 6×{4}
Prisme pentagonal P 2
4.4.5 		Pip D5h — U76 K01 10 15 7 2 5×{4}+2×{5}
Prisme hexagonal P 2
4.4.6 		Hip D6h — — — 12 18 8 2 6×{4}+2×{6}
Prisme octogonal P 2
4.4.8 		Op D8h — — — 16 24 10 2 8×{4}+2×{8}
Prisme décagonal P 2
4.4.10 		Dip D10h — — — 20 30 12 2 10×{4}+2×{10}
Prisme dodécagonal P 2
4.4.12 		Twip D12h — — — 24 36 14 2 12×{4}+2×{12}
Octaèdre tronqué A 3
4.6.6 		Toe Oh W007 U08 K13 24 36 14 2 6×{4}+8×{6}
Cuboctaèdre tronqué A
4.6.8 		Girco Oh W015 U11 K16 48 72 26 2 12×{4}+8×{6}+6×{8}
Icosidodécaèdre tronqué A
4.6.10 		Grid Ih W016 U28 K33 120 180 62 2 30×{4}+20×{6}+12×{10}
Dodécaèdre R 2 5
5.5.5 		Doe Ih W005 U23 K28 20 30 12 2 12×{5}
Icosaèdre tronqué A 3
5.6.6 		Ti Ih W009 U25 K30 60 90 32 2 12×{5}+20×{6}

Formes convexes (4 faces/sommet)

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Configuration de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Octaèdre R 2 3
3.3.3.3 		Oct Oh W002 U05 K10 6 12 8 2 8×{3}
Antiprisme carré P 2 2 4
3.3.3.4 		Squap D4d -- -- -- 8 16 10 2 8×{3}+2×{4}
Antiprisme pentagonal P 2 2 5
3.3.3.5 		Pap D5d -- U77 K02 10 20 12 2 10×{3}+2×{5}
Antiprisme hexagonal P 2 2 6
3.3.3.6 		Hap D6d -- -- -- 12 24 14 2 12×{3}+2×{6}
Antiprisme octogonal P 2 2 8
3.3.3.8 		Oap D8d -- -- -- 16 32 18 2 16×{3}+2×{8}
Antiprisme décagonal P 2 2 10
3.3.3.10 		Dap D10d -- -- -- 20 40 22 2 20×{3}+2×{10}
Antiprisme dodécagonal P 2 2 12
3.3.3.12 		Twap D12d -- -- -- 24 48 26 2 24×{3}+2×{12}
Cuboctaèdre A 3 4
3.4.3.4 		Co Oh W011 U07 K12 12 24 14 2 8×{3}+6×{4}
Petit rhombicuboctaèdre A 2
3.4.4.4 		Sirco Oh W013 U10 K15 24 48 26 2 8×{3}+(6+12)×{4}
Petit rhombicosidodécaèdre A 2
3.4.5.4 		Srid Ih W014 U27 K32 60 120 62 2 20×{3}+30×{4}+12×{5}
Icosidodécaèdre A 3 5
3.5.3.5 		Id Ih W012 U24 K29 30 60 32 2 20×{3}+12×{5}

Formes convexes (5 faces/sommet)

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Configuration de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Icosaèdre R 2 3
3.3.3.3.3 		Ike Ih W004 U22 K27 12 30 20 2 20×{3}
Cube adouci A 2 3 4
3.3.3.3.4 		Snic O W017 U12 K17 24 60 38 2 (8+24)×{3}+6×{4}
Dodécaèdre adouci A 2 3 5
3.3.3.3.5 		Snid I W018 U29 K34 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12×{5}

Formes non convexes avec des faces convexes

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Configuration de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Tétrahémihexaèdre C+ 2
4.3/2.4.3 		Thah Td W067 U04 K09 6 12 7 1 4×{3}+3×{4}
Cubohémioctaèdre C+ 3
6.4/3.6.4 		Cho Oh W078 U15 K20 12 24 10 -2 6×{4}+4×{6}
Octahémioctaèdre C+ 3
6.3/2.6.3 		Oho Oh W068 U03 K08 12 24 12 0 8×{3}+4×{6}
Grand dodécaèdre R+ 2 5
(5.5.5.5.5)/2 		Gad Ih W021 U35 K40 12 30 12 -6 12×{5}
Grand icosaèdre R+ 2 3
(3.3.3.3.3)/2 		Gike Ih W041 U53 K58 12 30 20 2 20×{3}
Grand icosidodécaèdre ditrigonal C+ 3 5
(5.3.5.3.5.3)/2 		Gidtid Ih W087 U47 K52 20 60 32 -8 20×{3}+12×{5}
Petit rhombihexaèdre C+
4.8.4/3.8 		Sroh Oh W086 U18 K23 24 48 18 -6 12×{4}+6×{8}
Petit cubicuboctaèdre C+ 4
8.3/2.8.4 		Socco Oh W069 U13 K18 24 48 20 -4 8×{3}+6×{4}+6×{8}
Grand rhombicuboctaèdre uniforme C+ 2
4.3/2.4.4 		Querco Oh W085 U17 K22 24 48 26 2 8×{3}+(6+12)×{4}
Petit dodécahémidodécaèdre C+ 5
10.5/4.10.5 		Sidhid Ih W091 U51 K56 30 60 18 -12 12×{5}+6×{10}
Petit icosihémidodécaèdre C+ 5
10.3/2.10.3 		Seihid Ih W089 U49 K54 30 60 26 -4 20×{3}+6×{10}
Grand dodécahémicosaèdre S+ 3
6.5/4.6.5 		Gidhei Ih W102 U65 K70 30 60 22 -8 12×{5}+10×{6}
Petit dodécicosaèdre C+
10.6.10/9.6/5 		Siddy Ih W090 U50 K55 60 120 32 -28 20×{6}+12×{10}
Petit rhombidodécaèdre C+
10.4.10/9.4/3 		Sird Ih W074 U39 K44 60 120 42 -18 30×{4}+12×{10}
Petit dodécicosidodécaèdre C+ 5
10.3/2.10.5 		Saddid Ih W072 U33 K38 60 120 44 -16 20×{3}+12×{5}+12×{10}
Rhombicosaèdre C+
6.4.6/5.4/3 		Ri Ih W096 U56 K61 60 120 50 -10 30×{4}+20×{6}
Grand icosicosidodécaèdre C+ 3
6.3/2.6.5 		Giid Ih W088 U48 K53 60 120 52 -8 20×{3}+12×{5}+20×{6}

Formes prismatiques non convexes

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Configuration de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Prisme pentagrammique P+ 2
5/2.4.4 		Stip D5h -- U78 K03 10 15 7 2 5×{4}+2{5/2}
Prisme heptagrammique (7/3) (en) P+ 2
7/3.4.4 		Giship D7h -- -- -- 14 21 9 2 7×{4}+2{7/3}
Prisme heptagrammique (7/2) (en) P+ 2
7/2.4.4 		Ship D7h -- -- -- 14 21 9 2 7×{4}+2{7/2}
Antiprisme pentagrammique P+ 2 25/2
5/2.3.3.3 		Stap D5h -- U79 K04 10 20 12 2 10×{3}+2{5/2}
Antiprisme pentagrammique croisé P+ 2 25/3
5/3.3.3.3 		Starp D5d -- U80 K05 10 20 12 2 10×{3}+2{5/2}

Autres formes non convexes avec des faces non convexes

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Configuration de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Petit dodécaèdre étoilé R+ 25/2
(5/2)5 		Sissid Ih W020 U34 K39 12 30 12 -6 12{5/2}
Grand dodécaèdre étoilé R+ 25/2
(5/2)3 		Gissid Ih W022 U52 K57 20 30 12 2 12{5/2}
Dodécadodécaèdre ditrigonal S+ 5/3 5
(5/3.5)3 		Ditdid Ih W080 U41 K46 20 60 24 -16 12×{5}+12{5/2}
Petit icosidodécaèdre ditrigonal S+ 5/2 3
(5/2.3)3 		Sidtid Ih W070 U30 K35 20 60 32 -8 20×{3}+12{5/2}
Hexaèdre tronqué étoilé S+ 4/3
8/3.8/3.3 		Quith Oh W092 U19 K24 24 36 14 2 8×{3}+68/3
Grand rhombihexaèdre S+
4.8/3.4/3.8/5 		Groh Oh W103 U21 K26 24 48 18 -6 12×{4}+6{8/3}
Grand cubicuboctaèdre S+ 4/3
8/3.3.8/3.4 		Gocco Oh W077 U14 K19 24 48 20 -4 8×{3}+6×{4}+6{8/3}
Grand dodécahémidodécaèdre S+ 5/3
10/3.5/3.10/3.5/2 		Gidhid Ih W107 U70 K75 30 60 18 -12 12{5/2}+6{10/3}
Petit dodécahémicosaèdre S+ 3
6.5/3.6.5/2 		Sidhei Ih W100 U62 K67 30 60 22 -8 12{5/2}+10×{6}
Dodécadodécaèdre S+ 5/2 5
(5/2.5)2 		Did Ih W073 U36 K41 30 60 24 -6 12×{5}+12{5/2}
Grand icosihémidodécaèdre S+ 5/3
10/3.3/2.10/3.3 		Geihid Ih W106 U71 K76 30 60 26 -4 20×{3}+6{10/3}
Grand icosidodécaèdre S+ 5/2 3
(5/2.3)2 		Gid Ih W094 U54 K59 30 60 32 2 20×{3}+12{5/2}
Cuboctaèdre cubitronqué S+
8/3.6.8 		Cotco Oh W079 U16 K21 48 72 20 -4 8×{6}+6×{8}+6{8/3}
Grand cuboctaèdre tronqué S+
8/3.4.6 		Quitco Oh W093 U20 K25 48 72 26 2 12×{4}+8×{6}+6{8/3}
Grand dodécaèdre tronqué S+ 5
10.10.5/2 		Tigid Ih W075 U37 K42 60 90 24 -6 12{5/2}+12×{10}
Petit dodécaèdre étoilé tronqué S+ 5/3
10/3.10/3.5 		Quitsissid Ih W097 U58 K63 60 90 24 -6 12×{5}+12{10/3}
Grand dodécaèdre étoilé tronqué S+ 5/3
10/3.10/3.3 		Quitgissid Ih W104 U66 K71 60 90 32 2 20×{3}+12{10/3}
Grand icosaèdre tronqué S+ 3
6.6.5/2 		Tiggy Ih W095 U55 K60 60 90 32 2 12{5/2}+20×{6}
Grand dodécicosaèdre S+
6.10/3.6/5.10/7 		Giddy Ih W101 U63 K68 60 120 32 -28 20×{6}+12{10/3}
Grand rhombidodécaèdre S+
4.10/3.4/3.10/7 		Gird Ih W109 U73 K78 60 120 42 -18 30×{4}+12{10/3}
Icosidodécadodécaèdre S+ 3
6.5/3.6.5 		Ided Ih W083 U44 K49 60 120 44 -16 12×{5}+12{5/2}+20×{6}
Petit dodécicosidodécaèdre ditrigonal S+ 5
10.5/3.10.3 		Sidditdid Ih W082 U43 K48 60 120 44 -16 20×{3}+12{5/2}+12×{10}
Grand dodécicosidodécaèdre ditrigonal S+ 5/3
10/3.3.10/3.5 		Gidditdid Ih W081 U42 K47 60 120 44 -16 20×{3}+12×{5}+12{10/3}
Grand dodécicosidodécaèdre S+ 5/3
10/3.5/2.10/3.3 		Gaddid Ih W099 U61 K66 60 120 44 -16 20×{3}+12{5/2}+12{10/3}
Petit icosicosidodécaèdre S+ 3
6.5/2.6.3 		Siid Ih W071 U31 K36 60 120 52 -8 20×{3}+12{5/2}+20×{6}
Rhombidodécadodécaèdre S+ 2
4.5/2.4.5 		Raded Ih W076 U38 K43 60 120 54 -6 30×{4}+12×{5}+12{5/2}
Grand rhombicosidodécaèdre uniforme S+ 2
4.5/3.4.3 		Qrid Ih W105 U67 K72 60 120 62 2 20×{3}+30×{4}+12{5/2}
Dodécadodécaèdre adouci S+ 25/2 5
3.3.5/2.3.5 		Siddid I W111 U40 K45 60 150 84 -6 60×{3}+12×{5}+12{5/2}
Dodécadodécaèdre adouci inversé S+ 5/3 2 5
3.5/3.3.3.5 		Isdid I W114 U60 K65 60 150 84 -6 60×{3}+12×{5}+12{5/2}
Grand icosidodécaèdre adouci S+ 25/2 3
3.4.5/2 		Gosid I W116 U57 K62 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12{5/2}
Grand icosidodécaèdre adouci inversé S+ 5/3 2 3
3.3.5/3 		Gisid I W113 U69 K74 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12{5/2}
Grand icosidodécaèdre rétroadouci S+ 3/25/3 2
(34.5/2)/2 		Girsid I W117 U74 K79 60 150 92 2 (20+60)×{3}+12{5/2}
Grand dodécicosidodécaèdre adouci S+ 5/35/2 3
33.5/3.3.5/2 		Gisdid I W115 U64 K69 60 180 104 -16 (20+60)×{3}+(12+12){5/2}
Icosidodécadodécaèdre adouci S+ 5/3 3 5
3.3.5.5/3 		Sided I W112 U46 K51 60 180 104 -16 (20+60)×{3}+12×{5}+12{5/2}
Petit icosicosidodécaèdre adouci S+ 5/2 3 3
35.5/2 		Seside Ih W110 U32 K37 60 180 112 -8 (40+60)×{3}+12{5/2}
Petit icosicosidodécaèdre rétroadouci S+ 3/23/25/2
(35.5/3)/2 		Sirsid Ih W118 U72 K77 60 180 112 -8 (40+60)×{3}+12{5/2}
Grand dirhombicosidodécaèdre S+ 3/25/3 3

5/2


(4.5/3.4.3.
4.5/2.4.3/2)/2 		Gidrid Ih W119 U75 K80 60 240 124 -56 40×{3}+60×{4}+24{5/2}
Dodécadodécaèdre icositronqué S+
10/3.6.10 		Idtid Ih W084 U45 K50 120 180 44 -16 20×{6}+12×{10}+12{10/3}
Dodécadodécaèdre tronqué S+
10/3.4.10 		Quitdid Ih W098 U59 K64 120 180 54 -6 30×{4}+12×{10}+12{10/3}
Grand icosidodécaèdre tronqué S+
10/3.4.6 		Gaquatid Ih W108 U68 K73 120 180 62 2 30×{4}+20×{6}+12{10/3}

Cas particulier

Nom Image Classe de solide Symbole de Wythoff Configuration de sommet Acronyme de Bowers Groupe de symétrie W# U# K# Sommets Arêtes Faces χ Faces par type
Grand dirhombidodécaèdre disadouci
Polyèdre de Skilling 		S++ (3/2) 5/3 (3) 5/2
(5/2.4.3.3.3.4.5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2 		Gidisdrid Ih -- -- -- 60 240 (*1) 204 24 120×{3}+60×{4}+24{5/2}

(*1) : Le grand dirhombidodécaèdre disadouci possède 120 arêtes partagées par quatre faces. Si elles sont comptées comme deux paires, alors il existe au total 360 arêtes. À cause de cette dégénérescence des arêtes, il n'est pas toujours considéré comme un polyèdre uniforme.

Explication des notations dans les tables précédentes

  • Classes de solides
    • R = 5 solides de Platon
    • R+= 4 solides de Kepler-Poinsot
    • A = 13 solides d'Archimède
    • C+= 14 polyèdres non convexes avec des faces convexes (tous ces polyèdres uniformes ont les faces qui se coupent les unes les autres)
    • S+= 39 polyèdres non convexes avec des faces complexes (en) (étoilées)
    • P = Série infinie des prismes réguliers convexes et des antiprismes
    • P+= Série infinie des prisme et des antiprismes uniformes non convexes (ceux-ci contiennent tous des faces complexes (étoiles))
    • T = 11 pavages planaires
  • Acronyme de Bowers - Un nom unique abrégé prononçable basé sur l'anglais créé par le mathématicien amateur Jonathan Bowers[réf. nécessaire]
  • Indexation uniforme : U01-U80 (d'abord le tétraèdre, les prisme à 76+)
  • Indexation Kaleido : K01-K80 <K(n)=U(n-5) pour n=6..80> (prismes 1-5, Tétraèdre 6+)
  • Liste des patrons de polyèdres (en) de Wenninger (en) : W001-W119
    • 1-18 - 5 convexes réguliers et 13 convexes semi-réguliers
    • 20-22, 41 - 4 non convexes réguliers
    • 19-66 48 stellations/composés spéciaux (Non réguliers non données sur cette liste)
    • 67-119 - 53 non convexes uniformes
  • Chi: la caractéristique d'Euler, χ. Les pavages uniformes sur le plan correspondent à une topologie torique, avec une caractéristique d'Euler égale à zéro.
  • Pour les pavages du plan, les nombres donnés de sommets, d'arêtes et de faces montrent le ratio de tels éléments dans une période du motif, qui, dans chaque cas, est un losange (quelquefois un losange à angles droits, i.e. un carré).
  • Note sur les images de figure de sommet :
    • Les droites blanches de polygone représentent la « figure de sommet » du polygone. Les faces colorées incluses sur les images des figures de sommet aident à voir leurs relations.

Voir aussi

Article connexe

Liste des polyèdres uniformes par triangle de Schwarz (en)

Liens externes

  • (en) Stella: Polyhedron Navigator - Logiciel pour générer et imprimer des patrons pour tous les polyèdres uniformes.
  • (en) Robert Webb, Modèles en papier
  • Indexation uniforme : U1-U80 (le tétraèdre en premier)
    • (en) Paul Bourke, Uniform Polyhedra (80)
    • (en) Eric W. Weisstein, « Uniform Polyhedron », sur MathWorld
    • (en) The Uniform Polyhedra, extrait du livre de Roman Maeder The Mathematica Programmer II
    • (en) Sam Gratrix, « Uniform Polyhedra Summary »
    • (en) James Buddenhagen, Uniform Polyhedra
  • Indexation par Kaleido : K1-K80 (Prisme pentagonal en premier)
    • (en) Page de Zvi Har’El
    • (en) Jim McNeill, Uniform Polyhedra
  • Aussi
    • Richard Klitzing, Facettes des polyèdres uniformes, sur Polyedergarten
    • Edmond Bonan, [1], sur Stéréo-Club Français


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of uniform polyhedra » (voir la liste des auteurs).
v · m
Solides de Platon (5)
Solides d'Archimède (13)
Solides de Kepler-Poinsot (4)
Solides de Catalan (13)
Solides de révolution
Composés polyédriques
Solides de Johnson (92) voir Modèle:Palette Solides de Johnson
  • icône décorative Portail de la géométrie