Hexagone

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Hexagone régulier
Hexagone régulier : ri est le rayon du cercle inscrit, et rc (égal au côté a) celui du cercle circonscrit.
Type	Polygone régulier
Arêtes	6
Sommets	6
Symbole de Schläfli	{6}
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Groupe de symétrie	Groupe diédral D12
Angle interne	120°
Propriétés	constructible
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Un hexagone, du grec ἕξ / héx, « six », et γωνία / gōnía, « angle », est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être régulier ou irrégulier.

Un hexagone régulier est un hexagone convexe dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120°.

Comme les carrés et les triangles équilatéraux, les hexagones réguliers permettent un pavage régulier du plan. Les pavages carrés et hexagonaux sont notamment utilisés pour réaliser des dallages.

Parmi tous les pavages du plan, le pavage hexagonal (régulier) est celui dont la longueur totale des côtés est le plus petit. Cette propriété est à l'origine, dans la nature, de nombreuses dispositions (planes ou en section plane) comme les alvéoles d'abeilles ou la prismation (en) des orgues basaltiques et des sols polygonaux.

Hexagone régulier

Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Propriétés générales

Relations métriques dans l'hexagone régulier

L'hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux, ce qui lui confère les propriétés suivantes.

Considérons les dimensions caractéristiques suivantes de l'hexagone régulier :

1. longueur d'un côté : a ;
2. distance du centre aux sommets, et rayon du cercle circonscrit : r_c ;
3. apothème : distance du centre aux côtés, et rayon du cercle inscrit  : ${\displaystyle h=r_{\mathrm {i} }}$.

Nous avons les relations suivantes :

${\displaystyle r_{\mathrm {c} }=a}$

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }=h}$

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {3}}{2}}r_{\mathrm {c} }\iff r_{\mathrm {c} }=r_{\mathrm {i} }{\frac {2}{\sqrt {3}}}}$

Calcul de l'aire

L'aire d'un hexagone régulier de côté a est

${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}.}$

L'aire d'un hexagone régulier dont le cercle inscrit a pour rayon r_i est

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}\,r_{\mathrm {i} }^{2}.}$

Démonstration : calcul de l'aire par décomposition en triangles

Soient :

a, la longueur d'un des 6 côtés de l'hexagone ;

h, la longueur de l'apothème ;

r_c : longueur du rayon (rayon : ligne droite du centre de l'hexagone à l'un des 6 sommets) ;

n, le nombre de côtés du polygone régulier (pour la formule générale).

L'aire d'un hexagone régulier peut se calculer avec la formule A = 3ah puisque l'aire d'un polygone régulier à n côtés vaut nah/2.

Cette formule permet de calculer l'aire en divisant l'hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme r_c = a, l'apothème h se déduit à l'aide de la formule de Pythagore ${\displaystyle \textstyle \ h={\sqrt {r_{\mathrm {c} }^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r}$, d'où ${\displaystyle \textstyle A=3ah={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}r_{\mathrm {c} }^{2}.}$

Construction d'un hexagone régulier

Un hexagone régulier est constructible car il vérifie le théorème de Gauss-Wantzel^[1] : 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).

Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des Éléments d'Euclide, qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux :

Image animée de gauche : un hexagone régulier inscrit dans un cercle. Ce polygone régulier est dessiné au moyen d'un compas, une règle et d'un crayon de papier.	On construit un cercle C de centre O et de diamètre [AD]; Puis, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon [AO]: l'arc de cercle coupe le cercle C en B et en F; (3) Les diamètres de C passant par B et par F coupent le cercle en C et en E; (4 - 5) En joignant les points du cercle A, B, C, D, E et F, on obtient un hexagone régulier. (6 - 11)

Symétrie

Un hexagone possède six axes de symétrie : trois axes de symétrie passant par les sommets opposés et le centre, trois axes de symétrie passant par les points milieux des côtés opposés et le centre.

Pavages

L'hexagone régulier permet de créer un pavage périodique.

Dans la nature

• Il existe de nombreuses molécules et atomes qui prennent une forme hexagonale grâce à leurs liaisons covalentes :
  • En chimie, l'hexagone est le représentant d'un alcane cyclique : le cyclohexane.
  • Dans la nature, un autre élément fréquent à forme hexagonale est le flocon de neige. Les molécules d'eau qui les composent imposent des angles réguliers à ses cristaux.
• Et à plus grande échelle macroscopique, cette forme est aussi visible dans notre environnement :
  • En géologie, les fentes de dessiccation et les coulées de lave refroidies prennent cette même configuration géométrique sous forme de colonnes basaltiques. La Chaussée des Géants en Irlande du Nord est un très bel exemple de ce type de refroidissement optimal d'une coulée basaltique en fusion.
  • Des bulles de savon s'organisent toutes en hexagones lorsqu'il y en a de trop dans un espace fermé. Elles prennent alors la forme d'hexagone, qui correspond ici à un optimum isopérimétrique.

  • 

    Les alvéoles d'abeille, construites afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base. L'hexagone apparaît comme une figure optimale, pour l'abeille. Non seulement elle permet de paver le plan, mais, de plus, elle correspond à un optimum isopérimétrique, c'est-à-dire que parmi les figures régulières qui permettent de paver l'espace, l'hexagone correspond à la plus grande surface possible pour un périmètre donné. Aucune autre figure permettant de paver l'espace n'utilise moins de cire que celle adoptée par les abeilles. Cette remarque est initialement l'œuvre de Pappus d'Alexandrie, un géomètre grec de l'antiquité. Cependant, en 2013, le professeur Bhushan Lal Karihaloo (en), confirmant une proposition initiale de Darwin, a montré que le travail incessant des ouvrières chauffe les gâteaux de cire alvéolaires circulaires à une température de 45 °C, la viscoélasticité permettant ainsi, par simple compression des alvéoles entre elles, de passer d'une forme circulaire à une forme hexagonale (voir l'article détaillé Alvéole d'abeille).
  • La jonquille possède 6 pétales soudés en tube hexagonal autour de l'ovaire. En effet, c'est ici aussi la plus grande surface possible pour attirer les insectes en son sein.
  • Dans la dynamique des fluides, les flux en rotation produisent des structures instables, telles que des vortex. Ils sont à l'origine des tornades, mais aussi des courants et autres écoulements. La figure géométrique ainsi observable est appelée « seau de Newton » ou tout simplement un hexagone.
  • Au niveau de la région boréale du pôle Nord de Saturne, la sonde spatiale Cassini (2006 à 2013) et Voyager (1980) ont observé à 78 degrés de latitude nord une structure hexagonale. Elle a été observée depuis un point situé à 902 000 km au-dessus des nuages et est particulièrement persistante.
  • Les cellules de grille (grid cell) du cortex entorhinal médial des mammifères présentent un motif hexagonal afin de représenter l'espace, participant ainsi à la mémoire et à la représentation spatiale.

Technologie

Le miroir principal du télescope spatial James Webb est constitué de 18 hexagones qui peuvent s'ajuster avec une grande précision.

Unicode

Hexagone irrégulier

Tout hexagone qui n'est pas un hexagone régulier est dit irrégulier. Ce type d’hexagone peut prendre les formes suivantes :

Hexagone croisé	Hexagone convexe	Hexagone concave

L’hexagramme de Pascal

Un hexagramme de Pascal est un hexagone irrégulier très particulier. Il est tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. Cette configuration, inventée par Blaise Pascal, est très utile pour l'étude des ellipses, hyperboles, paraboles, cercles.

Autres

• De par sa forme grossièrement hexagonale, la France métropolitaine est souvent appelée « l'Hexagone ».
• Au cours du XVII^e siècle, suivant un idéal architectural issu de la Renaissance^[2], des villes de Sicile comme Avola ou Grammichele détruites par un tremblement de terre en 1693, furent reconstruites en suivant un plan hexagonal.
• Du fait de ses possibilités de pavage et des mouvements simples qu'il permet, l'hexagone est une figure très répandue dans les jeux de guerre.

Notes

Voir aussi

• Hexagramme (géométrie)
• Hexagramme unicursal (en)
• Livre IV des Éléments d'Euclide
• Parallélogone (en)

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