Liczby całkowite Gaussa

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \wedge i^{2}=-1\}}$^[1].

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa. Zbiór liczb całkowitych Gaussa nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy zbiór liczb całkowitych jest takim pierścieniem^[2].

Elementami odwracalnymi pierścienia ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ są: ${\displaystyle 1,-1,i,-i}$^[a]. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa^[2]. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są ${\displaystyle -i}$ oraz ${\displaystyle +i.}$ Grupa ta działa na ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ i można ją interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez ${\displaystyle +i}$). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

${\displaystyle \{x+yi:x>0,y\geqslant 0\}}$ (I ćwiartka),

${\displaystyle \{x+yi:x\leqslant 0,y>0\}}$ (II ćwiartka),

${\displaystyle \{x+yi:x<0,y\leqslant 0\}}$ (III ćwiartka),

${\displaystyle \{x+yi:x\geqslant 0,y<0\}}$ (IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa^[b]. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w ${\displaystyle z=x+yi\in \mathbb {Z} [i]}$ można opisać w następujący sposób:

1. Jeśli kwadrat modułu ${\displaystyle |z|^{2}=x^{2}+y^{2}}$ liczby ${\displaystyle z}$ jest w ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ liczbą pierwszą postaci ${\displaystyle 4n+1}$ (gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{+}}$), to ${\displaystyle z}$ jest liczbą pierwszą w ${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$ Każda liczba pierwsza w ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ postaci ${\displaystyle 4n+1}$ rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej ${\displaystyle 1+i\in \mathbb {Z} [i].}$
3. Liczba pierwsza w ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ postaci ${\displaystyle 4n+3}$ jest liczbą pierwszą w ${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny ${\displaystyle (1,-1,i,-i).}$

Przykłady

• Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
• Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa ${\displaystyle 1+2i,1-2i.}$
• Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa ${\displaystyle 2+3i,2-3i.}$
• Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa ${\displaystyle 1+4i,1-4i.}$
• Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli ${\displaystyle u=a+bi}$ i ${\displaystyle v=c+di,}$ to

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=|u|^{2}\cdot |v|^{2}=|uv|^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2},}$

czyli dla dowolnych liczb całkowitych ${\displaystyle a,b,c,d}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Gauss C.F.: Arithmetische Untersuchungen. New York-Chelsea: 1965.brak strony w książce
• Hardy G.H., Wright E.M.: An Introduction of the Theory of Numbers. Wyd. 4. New York: Oxford University Press, 1960.brak strony w książce
• Шнирельман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940.brak strony w książce
• Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982.brak strony w książce