Liczby całkowite Eisensteina

Liczby całkowite Eisensteina (nazywane także liczbami Eisensteina-Jacobiego) – liczby postaci ${\displaystyle a+b\omega ,}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są liczbami całkowitymi,

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{\frac {2}{3}}\pi i},}$

oraz ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną. ${\displaystyle \omega }$ jest pierwiastkiem zespolonym równania ${\displaystyle z^{2}+z+1=0}$^[1][2]. Zarówno suma, różnica, jak i iloczyn liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one pierścień. Pierścień ten jest euklidesowy z normą ${\displaystyle N}$ daną wzorem

${\displaystyle N(a+b\omega )=|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}}$^[3].

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Na płaszczyźnie zespolonej liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).

Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów:

1. zbioru liczb ${\displaystyle a+b\omega ,}$ takich że ${\displaystyle a}$ jest liczbą pierwszą, taką że ${\displaystyle a\equiv 2{\pmod {3}}}$ oraz ${\displaystyle b=0,}$
2. zbioru liczb ${\displaystyle a+b\omega ,}$ takich że ${\displaystyle N(a+b\omega )}$ jest taką liczbą pierwszą ${\displaystyle p,}$ że ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}.}$

Grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:

${\displaystyle +1,\,-1,\,+\omega ,\,-\omega ,\,+\omega ^{2}=-1-\omega ,\,-\omega ^{2}=1+\omega }$^[1][4].

Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych generowaną przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt ${\displaystyle 1\,+\,\omega }$).

Przykłady

1. Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące liczby naturalne: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101.
2. Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo ${\displaystyle 3=-(1+2\omega )^{2},7=(3+\omega )(2-\omega ).}$
3. Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby ${\displaystyle 2+\omega ,\,3+\omega ,\,4+\omega ,\,5+2\omega .}$

Przypisy

Bibliografia

• Шнирелман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 29–36.
• Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982, s. 24–28.

Literatura dodatkowa

• John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer Verlag, 1996, s. 221–225. ISBN 0-387-97993-X, ISBN 978-0-387-97993-9.
• Боревич З.И., Шафаревич И.Р.: Teopия чисeл. Наука, 1985, s. 149–190.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Eisenstein Integer, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).