菱形三十面体

菱形三十面体

種別	カタランの立体、等面菱形多面体、三十面体
面数	30
面形状	菱形の一種
辺数	60
頂点数	32
対称群	I_h
双対多面体	二十・十二面体
特性	凸集合
展開図
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菱形三十面体（りょうけいさんじゅうめんたい、英: rhombic triacontahedron）とは、カタランの立体の一種で、二十・十二面体の双対多面体である。また、ゾーン多面体、等面菱形多面体の一種でもある。正十二面体または正二十面体の各面の中心を持ち上げ、隣り合う三角形同士が同一平面上となるようにした形にもなっている。

全ての目が同じ条件であるため、三十面のサイコロには最もよく使われている。

一部の菱形10枚を抜くことにより菱形二十面体が生成される。

性質

面の形状
- 鈍角の角度: 約116.57°
- 鋭角の角度: 約63.43°
- 長い対角線の長さ : 短い対角線の長さ : 辺の長さ = $\phi$ : 1 : ${\frac {\sqrt {1+\phi ^{2}}}{2}}$
  = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}(=1.618\cdots )$ : 1 : ${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}(=0.951\cdots )$ （対角線の比が黄金比となっている）
表面積: $S=12{\sqrt {5}}\,a^{2}\approx 26.8328a^{2}$
体積: $V=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{3}\approx 12.3107a^{3}$
内接球の半径: $r_{\mathrm {i} }={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a\approx 1.37638a$
辺の中点を通る球の半径: $r_{\mathrm {m} }=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)\,a\approx 1.44721a$

近縁な立体

正十二面体
（ベースとなる形の1つ）
正二十面体
（ベースとなる形の1つ）
六方二十面体
（各面の中心を持ち上げて変形）
凧形六十面体
（各面の中心を更に持ち上げる）
五角六十面体
（各頂点を、隣り合う頂点が逆方向となる形でねじる）
二十・十二面体と菱形三十面体による複合多面体

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Rhombic Triacontahedron". mathworld.wolfram.com (英語).

多面体

一様多面体

正多面体	正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体
半正多面体	切頂四面体切頂六面体切頂八面体切頂十二面体切頂二十面体立方八面体二十・十二面体斜方立方八面体斜方二十・十二面体斜方切頂立方八面体斜方切頂二十・十二面体変形立方体変形十二面体
星型正多面体	小星型十二面体大十二面体大星型十二面体大二十面体
その他	八面半八面体四面半六面体小立方立方八面体大立方立方八面体立方半八面体立方切頂立方八面体一様大斜方立方八面体小斜方六面体星型切頂六面体大切頂立方八面体大斜方六面体小二重三角二十・十二面体小二十・二十・十二面体小変形二十・二十・十二面体小十二・二十・十二面体十二・十二面体切頂大十二面体斜方十二・十二面体小斜方十二面体変形十二・十二面体二重三角十二・十二面体大二重三角十二・二十・十二面体小二重三角十二・二十・十二面体二十・十二・十二面体二十面切頂十二・十二面体変形二十・十二・十二面体大二重三角二十・十二面体大二十・二十・十二面体小二十面半十二面体小十二・二十面体小十二面半十二面体大二十・十二面体切頂大二十面体斜方二十面体大変形二十・十二面体小星型切頂十二面体切頂十二・十二面体逆変形十二・十二面体大十二・二十・十二面体小十二面半二十面体大十二・二十面体大変形十二・二十・十二面体大十二面半二十面体大星型切頂十二面体一様大斜方二十・十二面体大切頂二十・十二面体大逆変形二十・十二面体大十二面半十二面体大二十面半十二面体小反屈変形二十・二十・十二面体大斜方十二面体大反屈変形二十・十二面体大二重斜方二十・十二面体