Kolmioluku

Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55. ^[1]

Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku ${\displaystyle T_{n}}$ on ${\displaystyle T_{n-1}+n=T_{n}.}$ ^[2]

Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä:

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku ${\displaystyle n.}$

Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Formaalinen määritelmä

Kolmioluvut ${\displaystyle T_{n}}$ saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan ${\displaystyle n}$ peräkkäistä luonnollista lukua yhteen:

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}.}$ ^[3]

Merkintä ${\displaystyle {n+1 \choose 2}}$ tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin ${\displaystyle n+1}$:sta alkiosta muodostettavien parien lukumäärä.

Yhteyksiä matematiikkaan

Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on kerrottu esimerkkejä eräistä kolmiolukujen ominaisuuksista.

Arjen erikoisuuksia

Keilat asetetaan kolmioluvun ${\displaystyle T_{4}=10}$ tapaan tetraktyksen muotoon. ^[4] Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun ${\displaystyle T_{5}=15}$ tapaan.

Pedon luku on kolmioluku ${\displaystyle T_{6\cdot 6}=T_{36}=}$ 666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat. ^[3]

Kolmiolukujen ominaisuksia

Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. ^[3] Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku ${\displaystyle C_{n}}$.

${\displaystyle T_{n}^{2}-T_{n-1}^{2}=n^{3}=C_{n}}$

Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan ${\displaystyle T_{3}^{2}-T_{2}^{2}=6^{2}-3^{2}=36-9=27=3^{3}=C_{3}.}$

Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku.

${\displaystyle T_{n}^{2}+T_{n-1}^{2}=T_{n^{2}}}$

Kun esimerkiksi n = 3, saadaan ${\displaystyle T_{3}^{2}+T_{2}^{2}=6^{2}+3^{2}=36+9=45=T_{9}=T_{3^{2}}.}$

Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.

${\displaystyle 3T_{n}+T_{n-1}=T_{2n}}$ (kuvio 1)

${\displaystyle 3T_{n}+T_{n+1}=T_{2n+1}}$ (kuvio 2)

Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.

${\displaystyle 1+3+5+\dots +(2n-1)=T_{n}+T_{n-1}}$

Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.

Kytkentä muihin kuviolukuihin

Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku ${\displaystyle N_{n}}$:

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {n^{2}+n+n^{2}-n}{2}}=n^{2}=N_{n}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}}$

Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.

	${\displaystyle T_{3}+T_{4}=6+10=16=4^{2}=N_{4}}$
	${\displaystyle T_{4}+T_{5}=10+15=25=5^{2}=N_{5}}$

Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta.

${\displaystyle 8T_{n}+1=N_{2n+1}=(2n+1)^{2},}$ eli tässä kuvan mukaisessa tapauksessa ${\displaystyle 8T_{7}+1=225=15^{2}=(2\cdot 7+1)^{2}=N_{15}.}$ [3]

Toinen vastaava esimerkki on

${\displaystyle T_{n-1}+6T_{n}+T_{n+1}=N_{2n+1}=(2n+1)^{2}.}$ ^[3]

Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti

${\displaystyle T_{1}-T_{2}+T_{3}-T_{4}+\dots +T_{2n-1}=N_{n}=n^{2}}$

saadaan tulokseksi neliöluku. ^[3]

Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku ${\displaystyle H_{n}}$: ${\displaystyle H_{n}=T_{2n-1}}$ ^[3]

Jokainen viisikulmioluku ${\displaystyle P_{n}}$ on kolmasosa kolmioluvusta: ${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}}$ ^[3]

Jos ${\displaystyle S_{n}}$ on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi ${\displaystyle 5S_{n}+1=T_{i}}$, joka on kolmioluku ${\displaystyle T_{i}}$.

Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots +n^{3}=T_{n}^{2}={\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}}$ ^[3]

Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+\dots +(2n-1)^{3}=T_{2n^{2}-1}=n^{2}(2n^{2}-1)}$ ^[3]

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan

Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. ^[3]

Kaikki luvun ${\displaystyle 4T_{n}+1}$ jakajat ovat muotoa ${\displaystyle 4k+1}$ ja samoin on laita lukujen ${\displaystyle 6T_{n}+1}$, jotka ovat kaikki muotoa ${\displaystyle 6k+1}$. Muotoa ${\displaystyle 10T_{n}+1}$ olevilla luvuilla on jakajina luvut ${\displaystyle 10k+1}$ ja ${\displaystyle 10k-1}$ eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9. ^[3]

Parilliset täydelliset luvut P ovat kolmiolukuja ${\displaystyle T_{p}}$, jossa p on alkuluku. Kaikki ${\displaystyle P>6}$ ovat muotoa ${\displaystyle P=1+9T_{n}=T_{3n+1},}$ missä ${\displaystyle T_{n}}$ on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa ${\displaystyle n=8i+1.}$ ^[3]

Kombinatoriikassa ${\displaystyle n}$-henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä ${\displaystyle {n \choose 2}}$ monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku ${\displaystyle T_{n-1}.}$ ^[3]

Kolmiolukuja ${\displaystyle T_{n}=1+2+3+4+\dots +n}$ voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot n.}$ ^[3]

Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}|x-y|^{n}\,dx\,dy={\frac {1}{T_{n+1}}}={\frac {2}{(n+1)(n+2)}}.}$ ^[3]

Historiaa

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen ${\displaystyle T_{4}}$ kolmioranennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua. ^[5]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla tuli perustettua lukuteoria. ^[6]

Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli n termiä, tuli summaksi ${\displaystyle 2(1-{\frac {1}{n+1}})}$ ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2.^[7]

Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, jolloin jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. ^[8]

Katso myös

• Metcalfen laki
• OEIS – kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Lähteet

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.

Viitteet

Aiheesta muualla

• Hobson, N.: "Triangular Numbers" (Arkistoitu – Internet Archive)
• Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares (Arkistoitu – Internet Archive)