Număr tetraedric

O piramidă cu lungimea laterală de 5 conține 35 de sfere. Fiecare strat reprezintă unul dintre primele cinci numere triunghiulare.

Un număr tetraedric[1] sau tetraedral[2] este un număr figurativ care reprezintă o piramidă cu o bază triunghiulară și trei laturi, numită tetraedru.[3] Este un număr platonician, o subclasă a numerelor poliedrice sau poliedrale, subclasă la rândul său a numerelor figurative.

Al n-lea număr tetraedric, Ten, este suma primelor n numere triunghiulare, și anume,

T e n = ∑ k = 1 n T k = ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) 2 = ∑ k = 1 n ( ∑ i = 1 k i ) {\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)}

Primele numere tetraedrice sunt:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... [4]

Formula

Formula pentru al n-lea număr tetraedric poate fi scrisă și ca:[5]

T e n = ∑ k = 1 n T k = ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) 2 = ∑ k = 1 n ( ∑ i = 1 k i ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 = n 3 ¯ 3 ! {\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}}

Numerele tetraedrice pot fi exprimate și pe baza coeficienților binomiali (vezi imaginea alăturată):

T e n = ( n + 2 3 ) . {\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}

Numerele tetraedrice pot fi, prin urmare, găsite în a patra poziție, fie din stânga, fie din dreapta în triunghiul lui Pascal.

Note

  1. ^ „tetraedric” la DEX online
  2. ^ Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi pag. 63
  3. ^ Eric W. Weisstein, Tetrahedral Number la MathWorld.
  4. ^ Șirul A000292 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  5. ^ Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.

Vezi și


v • d • m
Numere figurative
În plan
În spațiu 3D
În spațiu 4D
necentrate
5D - 8D
necentrate
Vezi și