Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r . {\displaystyle r.} O número r {\displaystyle r} é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.[1][2][3]

Definição

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} definida recursivamente por:[2][3]

a n = a n − 1 + r , n > 1 , {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r,\quad n>1,}

onde o primeiro termo, a 1 , {\displaystyle a_{1},} é um número dado. O número r {\displaystyle r} é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

r = a n − a n − 1 , n > 1. {\displaystyle r=a_{n}-a_{n-1},\quad n>1.}

Exemplos

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

  • ( 1 ,   4 ,   7 ,   10 ,   13 ,   … ) {\displaystyle (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )} é uma progressão aritmética em que o primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é igual a 1 {\displaystyle 1} e a razão r {\displaystyle r} é igual a 3. {\displaystyle 3.}
  • ( − 2 ,   − 4 ,   − 6 ,   − 8 ,   − 10 ,   … ) {\displaystyle (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )} é uma P.A. em que a 1 = − 2 {\displaystyle a_{1}=-2} e r = − 2. {\displaystyle r=-2.}
  • ( 6 ,   6 ,   6 ,   6 ,   6 ,   … ) {\displaystyle (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )} é uma P.A. com a 1 = 6 {\displaystyle a_{1}=6} e r = 0. {\displaystyle r=0.}

Fórmula do termo geral

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por a n , {\displaystyle a_{n},} pode ser obtido por meio da fórmula:[1][2][3]

a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ r , {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r,}
em que:

  • a 1 {\displaystyle a_{1}} é o primeiro termo;
  • r {\displaystyle r} é a razão.

Demonstração

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

  • Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto a 2 = a 1 + 1 ⋅ r ; {\displaystyle a_{2}=a_{1}+1\cdot r;}
  • Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n − 1 , {\displaystyle n-1,} ou seja, que a n − 1 = a 1 + ( n − 2 ) ⋅ r , {\displaystyle a_{n-1}=a_{1}+(n-2)\cdot r,} resulta que o n-ésimo termo é dado por:

a n = a n − 1 + r = ( a 1 + ( n − 2 ) ⋅ r ) + r = a 1 + ( ( n − 2 ) ⋅ r + r ) = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ r . {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r=(a_{1}+(n-2)\cdot r)+r=a_{1}+((n-2)\cdot r+r)=a_{1}+(n-1)\cdot r.}

Propriedades

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o n {\displaystyle n} -ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do m {\displaystyle m} -ésimo termo por:

a n = a m + ( n − m ) ⋅ r . {\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r.}

efeito, a m + ( n − m ) r = a 1 + ( m − 1 ) r + ( n − m ) r = a 1 + ( n − 1 ) r = a n . {\displaystyle a_{m}+(n-m)r=a_{1}+(m-1)r+(n-m)r=a_{1}+(n-1)r=a_{n}.}

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

a n = a n − 1 + a n + 1 2 , n > 1 {\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\quad n>1}

ou seja, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

a n − 1 + a n + 1 2 = a 1 + ( n − 2 ) r + a 1 + n r 2 = 2 ( a 1 + ( n − 1 ) r ) 2 = a n . {\displaystyle {\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}={\frac {a_{1}+(n-2)r+a_{1}+nr}{2}}={\frac {2(a_{1}+(n-1)r)}{2}}=a_{n}.}

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de a p {\displaystyle a_{p}} até a q {\displaystyle a_{q}} é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula:

S ( p , q ) = ( q − p + 1 ) ⋅ ( a p + a q ) 2 . {\displaystyle S_{(p,q)}={\frac {(q-p+1)\cdot (a_{p}+a_{q})}{2}}.}

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:

S n = n ⋅ ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}}}
ou
S n = n 2 ⋅ ( a 1 + a n ) {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)}

Exemplo: Seja P A = ( 10 , 8 , 6 , 4 , 2 ) , {\displaystyle PA=(10,8,6,4,2),} qual é a soma dos 4 primeiros números?

S 4 = 4 2 ⋅ ( 10 + 4 ) S 4 = 2 ⋅ 14 S 4 = 28 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&={\frac {4}{2}}\cdot \left(10+4\right)\\S_{4}&=2\cdot 14\\S_{4}&=28\end{aligned}}}

Demonstrações

Considerando a PA ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n − 1 , a n ) , {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n}),} a soma S n {\displaystyle S_{n}} de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

S n = a 1 + a 2 + . . . + a n − 1 + a n {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}}
S n = a n + a n − 1 + . . . + a 2 + a 1 {\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{2}+a_{1}}

Somando membro a membro, obtemos:

2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n − 1 ) + . . . + ( a n − 1 + a 2 ) + ( a n + a 1 ) {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}
2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n − 1 ) + . . . + ( a 2 + a n − 1 ) + ( a 1 + a n ) {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{1}+a_{n})}

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

( a 2 + a n − 1 ) = ( a 1 + r + a n − r ) = ( a 1 + a n ) {\displaystyle (a_{2}+a_{n-1})=(a_{1}+r+a_{n}-r)=(a_{1}+a_{n})}
( a 3 + a n − 2 ) = ( a 1 + 2 r + a n − 2 r ) = ( a 1 + a n ) {\displaystyle (a_{3}+a_{n-2})=(a_{1}+2r+a_{n}-2r)=(a_{1}+a_{n})}

e assim por diante

2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + . . . + ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+...+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})}

Então, como há n {\displaystyle n} pares de termos:

2 S n = ( a 1 + a n ) ⋅ n {\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n}
S n = ( a 1 + a n ) ⋅ n 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}}

Interpolação aritmética

Dada uma sequência finita ( a 1 ,   a 2 ,   … ,   a n ) , {\displaystyle (a_{1},~a_{2},~\ldots ,~a_{n}),} chamamos a 1 {\displaystyle a_{1}} e a n {\displaystyle a_{n}} de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) k {\displaystyle k} meios entre dois números dados a {\displaystyle a} e b , {\displaystyle b,} de forma a obtermos uma progressão aritmética de n = k + 2 {\displaystyle n=k+2} termos, sendo a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} seus extremos.[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de k {\displaystyle k} termos meios entre dois números dados a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} tem primeiro termo a 1 = a {\displaystyle a_{1}=a} e razão:

r = b − a k + 1 . {\displaystyle r={\frac {b-a}{k+1}}.}

Com efeito, vemos que tomando n = k + 2 , {\displaystyle n=k+2,} temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

a n = a + ( k + 2 − 1 ) b − a k + 1 = b {\displaystyle a_{n}=a+(k+2-1){\frac {b-a}{k+1}}=b}

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

  • ( 5 ,   5 ,   5 ,   5 ,   5 ,   5 ,   … ) {\displaystyle (5,~5,~5,~5,~5,~5,~\ldots )} tem razão r = 0
  • ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   … ) {\displaystyle (0,~0,~0,~0,~0,~0,~\ldots )} tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

  • ( 2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   10 ,   … ) {\displaystyle (2,~4,~6,~8,~10,~\ldots )} com razão r = 2
  • ( 3 ,   6 ,   9 ,   12 ,   15 ,   … ) {\displaystyle (3,~6,~9,~12,~15,~\ldots )} com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

  • ( 6 ,   4 ,   2 ,   0 ,   − 2 ,   … ) {\displaystyle (6,~4,~2,~0,~-2,~\ldots )} tem razão igual a -2
  • ( 6 ,   3 ,   0 ,   − 3 ,   − 6 ,   … ) {\displaystyle (6,~3,~0,~-3,~-6,~\ldots )} tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} em que as diferenças entre os termos consecutivos Δ a n = a n + 1 − a n {\displaystyle \Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}} forma uma progressão aritmética.[4] Por exemplo, a sequência:

( 1 ,   3 ,   7 ,   13 ,   21 ,   31 ,   … ) {\displaystyle (1,~3,~7,~13,~21,~31,~\ldots )}

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos ( Δ a n ) {\displaystyle (\Delta a_{n})} é uma progressão aritmética de primeiro termo Δ a 1 = 2 {\displaystyle \Delta a_{1}=2} e razão r = 2. {\displaystyle r=2.}

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem k − 1. {\displaystyle k-1.} .[4][5]

Progressão aritmética de ordem qualquer

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por r 0 , {\displaystyle r_{0},} a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por r 1 {\displaystyle r_{1}} a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por r 2 , . {\displaystyle r_{2},.} .. a razão de ordem k por r k . {\displaystyle r_{k}.} De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem k {\displaystyle k} são necessários k + 1 {\displaystyle k+1} valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por:

a n = ∑ m = 0 k ( n − 1 m ) r m {\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}}

Nota: os coeficientes ( n − 1 m ) {\displaystyle {n-1 \choose m}} são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

( n − 1 m ) = ( n − 1 ) ! ( n − 1 − m ) ! ( m ) ! , {\displaystyle {n-1 \choose m}={\frac {(n-1)!}{(n-1-m)!(m)!}},}
onde n {\displaystyle n} e m {\displaystyle m} são inteiros, m ≤ n − 1 {\displaystyle m\leq n-1} e x ! = 1 × 2 × … x {\displaystyle x!=1\times 2\times \ldots x} é o fatorial de x.

O coeficiente binomial ( n − 1 m ) {\displaystyle {n-1 \choose m}} corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência ( S n {\displaystyle S_{n}} ) é calculada por:

S n = ∑ m = 0 k ( n m + 1 ) r m {\displaystyle S_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n \choose m+1}r_{m}}

Análise Polinomial

Até o momento discutimos Progressão Ariméticas de ordem qualquer por meio de uma abordagem por fórmulas extensas e de pouca implementação computacional.

Porém, podemos estudar elas por meio de polinômios na variável n e grau k ou k+1 (no qual k representa a ordem da sequência analisada). Assim reduzindo o problema à uma resolução de sistema linear, extremamente importante ao utilizar um computador.

Ordem 1

Vamos começar com um caso simples que é o da progressão aritmética clássica.

a n = a 1 + ( n − 1 ) r {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r}

Imediato que a fórmula do termo geral é um polinômio na variável n com grau 1.

S n = a 1 ⋅ n + n ( n − 1 ) 2 ⋅ r {\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot n+{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot r}

Que novamente é imediato que temos uma fórmula da soma dos n primeiros termos como um polinômio na variável n com grau 2.

O sutil é ver aqui que temos apenas 2 coeficientes a determinar já que o termo independente é nulo nesse caso. Portanto, para determinarmos tanto S n {\displaystyle S_{n}} quanto a n {\displaystyle a_{n}} precisamos de duas equações, logo dois elementos da sequência, para determinarmos a fórmula geral (como um polinômio em n) por meio de um sistema linear 2 X 2.

Ordem 2

a n = a 1 + ( n − 1 ) r 1 + ( n − 1 ) ( n − 2 ) 2 r 2 {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r_{1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}r_{2}}

S n = a 1 ⋅ n + n ( n − 1 ) 2 ⋅ r 1 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 6 ⋅ r 2 {\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot n+{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot r_{1}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}\cdot r_{2}}

Com essas duas fórmulas já demonstradas verifica-se as mesmas coisas concluídas para uma progressão aritmética de ordem 1. Portanto para o termo geral achamos um polinômio de grau 2, e para a soma dos n elementos um polinômio de grau 3 com termo independente nulo.

Ordem K

Para uma progressão aritmética de grau K, podemos concluir por indução e um pouco de álgebra as seguintes ideias:

a) O termo geral pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K, portanto temos K+1 coeficientes a determinar.

B) A fórmula da soma dos n elementos pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K + 1 (termo independente nulo), portanto também K+1 coeficientes a determinar.

A beleza dessas conclusões se dá no fato de que com K + 1 elementos da sequência pode-se obter todos seus elementos tanto quanto a soma dos mesmos. O que acontece é que com essa quantia obtemos implicitamente todas as razões parciais, dessa forma, obtendo todas as informações necessárias sem nem mesmo percebemos.

Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo a n {\displaystyle a_{n}} o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante.

r 0 = a 1 = 4 {\displaystyle r_{0}=a_{1}=4}
r 1 = a 2 − a 1 = 9 − 4 = 5 {\displaystyle r_{1}=a_{2}-a_{1}=9-4=5}
r 2 = ( 16 − 9 ) − ( 9 − 4 ) = 2 {\displaystyle r_{2}=(16-9)-(9-4)=2}
r 2 = ( 25 − 16 ) − ( 16 − 9 ) = 2 {\displaystyle r_{2}=(25-16)-(16-9)=2}
r 2 = ( 36 − 25 ) − ( 25 − 16 ) = 2 {\displaystyle r_{2}=(36-25)-(25-16)=2}
            ⋮ {\displaystyle ~~~~~~\vdots }
r 2 = ( a n − a n − 1 ) − ( a n − 1 − a n − 2 ) = 2 {\displaystyle r_{2}=(a_{n}-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=2}

Aplicando-se a fórmula:

a n = ∑ m = 0 2 ( n − 1 m ) r m = ( n − 1 0 ) r 0 + ( n − 1 1 ) r 1 + ( n − 1 2 ) r 2 {\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{2}{n-1 \choose m}r_{m}={n-1 \choose 0}r_{0}+{n-1 \choose 1}r_{1}+{n-1 \choose 2}r_{2}}

a n = ( n − 1 0 ) 4 + ( n − 1 1 ) 5 + ( n − 1 2 ) 2 {\displaystyle a_{n}={n-1 \choose 0}4+{n-1 \choose 1}5+{n-1 \choose 2}2}

a n = 4 + 5 ( n − 1 ) + 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) 2 = 1 + 2 n + n 2 = ( n + 1 ) 2 {\displaystyle a_{n}={4}+{5(n-1)}+{\frac {2(n-1)(n-2)}{2}}={1}+{2n}+{n^{2}}={(n+1)^{2}}}

a n = ( n + 1 ) 2 {\displaystyle a_{n}={(n+1)^{2}}}
2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência ( S n {\displaystyle S_{n}} ). De modo semelhante ao realizado acima:
S n = ∑ m = 0 2 ( n m + 1 ) r m {\displaystyle S_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{2}{n \choose m+1}r_{m}}

S n = ( n 1 ) 4 + ( n 2 ) 5 + ( n 3 ) 2 {\displaystyle S_{n}={n \choose 1}4+{n \choose 2}5+{n \choose 3}2}

S n = n ( 4 + 5 ( n − 1 ) 2 + ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 ) {\displaystyle S_{n}={n}\left(4+{\frac {5(n-1)}{2}}+{\frac {(n-1)(n-2)}{3}}\right)}

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.
b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de n . {\displaystyle n.}

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do r n : {\displaystyle r_{n}:}

a n = ∑ m = 0 k ( n − 1 m ) r m {\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}}

a 7 = ∑ m = 0 3 ( 7 − 1 m ) r m = ∑ m = 0 3 ( 6 m ) r m . {\displaystyle a_{7}=\sum _{m=0}^{3}{7-1 \choose m}r_{m}=\sum _{m=0}^{3}{6 \choose m}r_{m}.}

Como a 7 = 345 , {\displaystyle a_{7}=345,} vem:

345 = r 0 + r 1 ( 6 1 ) + r 2 ( 6 2 ) + r 3 ( 6 3 ) {\displaystyle 345=r_{0}+r_{1}{6 \choose 1}+r_{2}{6 \choose 2}+r_{3}{6 \choose 3}}

Da mesma forma, para os outros dados:

1002 = r 0 + r 1 ( 10 − 1 1 ) + r 2 ( 10 − 1 2 ) + r 3 ( 10 − 1 3 ) = r 0 + r 1 ( 9 1 ) + r 2 ( 9 2 ) + r 3 ( 9 3 ) {\displaystyle {\color {blue}1002}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}10}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}10}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}10}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{9 \choose 1}+r_{2}{9 \choose 2}+r_{3}{9 \choose 3}}

3377 = r 0 + r 1 ( 15 − 1 1 ) + r 2 ( 15 − 1 2 ) + r 3 ( 15 − 1 3 ) = r 0 + r 1 ( 14 1 ) + r 2 ( 14 2 ) + r 3 ( 14 3 ) {\displaystyle {\color {blue}3377}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}15}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}15}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}15}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{14 \choose 1}+r_{2}{14 \choose 2}+r_{3}{14 \choose 3}}

15627 = r 0 + r 1 ( 25 − 1 1 ) + r 2 ( 25 − 1 2 ) + r 3 ( 25 − 1 3 ) = r 0 + r 1 ( 24 1 ) + r 2 ( 24 2 ) + r 3 ( 24 3 ) {\displaystyle {\color {blue}15627}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}25}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}25}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}25}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{24 \choose 1}+r_{2}{24 \choose 2}+r_{3}{24 \choose 3}}
Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares:
r 0 + 6 r 1 + 15 r 2 + 20 r 3 = 345 r 0 + 9 r 1 + 36 r 2 + 84 r 3 = 1002 r 0 + 14 r 1 + 91 r 2 + 364 r 3 = 3377 r 0 + 24 r 1 + 276 r 2 + 2024 r 3 = 15627 {\displaystyle {\begin{matrix}r_{0}+6r_{1}+15r_{2}+20r_{3}=345\\r_{0}+9r_{1}+36r_{2}+84r_{3}=1002\\r_{0}+14r_{1}+91r_{2}+364r_{3}=3377\\r_{0}+24r_{1}+276r_{2}+2024r_{3}=15627\\\end{matrix}}}
O conjunto solução desse sistema ( S ) {\displaystyle (S)} é:
S = { r 0 = 3 r 1 = 7 r 2 = 12 r 3 = 6 } {\displaystyle S={\begin{Bmatrix}r_{0}=3\\r_{1}=7\\r_{2}=12\\r_{3}=6\\\end{Bmatrix}}}
Aplicando-se a fórmula para o caso n = 30 , {\displaystyle n=30,} obtemos a 30 : {\displaystyle a_{30}:}
a 30 = ∑ m = 0 3 ( 30 − 1 m ) r m {\displaystyle a_{30}=\displaystyle \sum _{m=0}^{3}{30-1 \choose m}r_{m}}
a 30 = r 0 + r 1 ( 30 − 1 1 ) + r 2 ( 30 − 1 2 ) + r 3 ( 30 − 1 3 ) = r 0 + r 1 ( 29 1 ) + r 2 ( 29 2 ) + r 3 ( 29 3 ) {\displaystyle a_{30}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}30}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}30}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}30}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{29 \choose 1}+r_{2}{29 \choose 2}+r_{3}{29 \choose 3}}
a 30 = 3 + 7 ( 30 − 1 1 ) + 12 ( 30 − 1 2 ) + 6 ( 30 − 1 3 ) = 3 + 7 ( 29 1 ) + 12 ( 29 2 ) + 6 ( 29 3 ) {\displaystyle a_{30}=3+7{{\color {blue}30}-1 \choose 1}+12{{\color {blue}30}-1 \choose 2}+6{{\color {blue}30}-1 \choose 3}=3+7{29 \choose 1}+12{29 \choose 2}+6{29 \choose 3}}
Calculando-se a expressão acima, obtém-se:
a 30 = 27002 {\displaystyle a_{30}=27002}

b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões r 0 , r 1 , r 2 {\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2}} e r 3 , {\displaystyle r_{3},} basta substituir os seus valores na fórmula de a n : {\displaystyle a_{n}:}

a n = ∑ m = 0 k ( n − 1 m ) r m {\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}}
a n = ∑ m = 0 3 ( n − 1 m ) r m {\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{3}{n-1 \choose m}r_{m}}
a n = 3 + 7 ( n − 1 1 ) + 12 ( n − 1 2 ) + 6 ( n − 1 3 ) . {\displaystyle a_{n}=3+7{n-1 \choose 1}+12{n-1 \choose 2}+6{n-1 \choose 3}.}
Logo:
a n = n 3 + 2 {\displaystyle a_{n}=n^{3}+2}
Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que:
( n − 1 m ) + ( n − 1 m + 1 ) = ( n m + 1 ) . {\displaystyle {n-1 \choose m}+{n-1 \choose m+1}={n \choose m+1}.}
Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

∑ m = 0 k ( n − 1 m ) r m ⏟ a n + ∑ m = 0 k ( n − 1 m + 1 ) r m ⏟ S n − 1 = ∑ m = 0 k ( n m + 1 ) r m ⏟ S n {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}} \\a_{n}\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m+1}r_{m}} \\S_{n-1}\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n \choose m+1}r_{m}} \\S_{n}\end{matrix}}}
Considerando-se também o princípio da indução matemática e uma das propriedades dos somatórios,

∑ i = m n ( x i ± y i ) = ∑ i = m n x i ± ∑ i = m n y i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i})=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\pm \sum _{i=m}^{n}y_{i}} que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número r , {\displaystyle r,} esta se torna:

( ∑ i = m n ( x i ± y i ) ) ⋅ r = ( ∑ i = m n x i ) ⋅ r ± ( ∑ i = m n y i ) ⋅ r {\displaystyle {\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i}){\Bigg )}\cdot r={\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}x_{i}{\Bigg )}\cdot r\pm {\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}y_{i}{\Bigg )}\cdot r}

esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem n . {\displaystyle n.} A fórmula é válida para n = { 1 , 2 , ⋯ } , {\displaystyle n=\{1,2,\cdots \},} ou seja,

S 0 ⏟ 0 = S 1 − a 1 , {\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {S_{0}} \\0\end{matrix}}=S_{1}-a_{1},}

S 1 ( = a 1 ) = S 2 − a 2 , {\displaystyle S_{1}(=a_{1})=S_{2}-a_{2},}

⋯ {\displaystyle \cdots }

S n − 1 ( = a n − 1 ) = S n − a n , {\displaystyle S_{n-1}(=a_{n-1})=S_{n}-a_{n},} que equivale à expressão mostrada acima.

Progressões Aritmético-Geométricas

São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} cujo termo geral é a n = ( a 0 + n r ) q n , {\displaystyle a_{n}=(a_{0}+nr)q^{n},} com n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .}

Veja que se q = 1 {\displaystyle q=1} ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética ( a n = a 0 + n r {\displaystyle a_{n}=a_{0}+nr} ) e se r = 0 , {\displaystyle r=0,} temos a fórmula de uma progressão geométrica, ( a n = a 0 ⋅ q n {\displaystyle a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}} ).

A fórmula para a soma dos n {\displaystyle n} primeiros termos dessa sequência[6] é:

S n = a 0 + q ⋅ ( q n ( a 0 + r ⋅ ( 1 − n ) − a 0 q − 1 ) − a 0 + r ) ( q − 1 ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {a_{0}+q\cdot (q^{n}(a_{0}+r\cdot (1-n)-a_{0}q-1)-a0+r)}{(q-1)^{2}}}}

Ver também

Referências

  1. ↑ a b Spiegel, Murray R. Teoria e problemas de álgebra 2 ed. [S.l.]: Bookman. p. 251. ISBN 9788536303406 
  2. ↑ a b c d e f g Iezzi, G.; et al. (2012). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 4 8 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717488 
  3. ↑ a b c d e f Medeiros, V. Z.; et al. (2013). Pré-Cálculo 3 ed. [S.l.]: Trilha. ISBN 9788522116126 
  4. ↑ a b Lima, E. L.; et al. (2006). A Matemática do Ensino Médio - Volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115 
  5. ↑ Courant, Richard. Cálculo Diferencial e Integral. [S.l.]: Globo. p. 29 
  6. ↑ Revista Eureka! nº 14 (página 34), da Sociedade Brasileira de Matemática. < http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka14.pdf >

Ligações externas

  • TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA - Exercício
  • v
  • d
  • e
Séries e Sequência
Sequência aritmética
Séries divergentes
Fibonacci espiral com square sizes up to 34.
Sequência geométrica
Série convergente
  • 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
  • 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
  • 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
Séries geométricas divergentes
Sequência hipergeométrica
  • Função geral hipergeométrica
  • Função hipergeométrica de um argumento matriz
  • Função de Lauricella
  • Função modular hipergeométrica
  • Equação diferencial de Riemann
  • Função Theta hipergeométrica
Sequência de inteiros
Outras sequências
Séries divergentes
  • Sequência periódica
  • Portal da matemática