Caratteristica (algebra)

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In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale ${\displaystyle n}$ diverso da zero tale che l'elemento

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1} \\n\mathrm {~volte} \end{matrix}}}$

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se ${\displaystyle 1+1+\ldots +1}$ è sempre diverso da zero, la caratteristica è ${\displaystyle 0}$ per definizione.

Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica ${\displaystyle 2}$.

Più generalmente, la caratteristica di un elemento ${\displaystyle a}$ è il più piccolo ${\displaystyle k}$ tale che

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {a+a+\dots +a} \\k\end{matrix}}}$

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Nei domini di integrità, la caratteristica è ${\displaystyle 0}$ oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo ${\displaystyle 0=1}$) che è l'unico dominio con caratteristica ${\displaystyle 1}$.

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Se ${\displaystyle A}$ è un sottoanello di ${\displaystyle B}$, ha la stessa caratteristica di ${\displaystyle B}$.

Più in generale, se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono anelli e ${\displaystyle A\to B}$ è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di ${\displaystyle B}$ divide quella di ${\displaystyle A}$.

Se la caratteristica di un anello ${\displaystyle A}$ è un numero primo ${\displaystyle p}$, allora

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p},}$

per tutti gli elementi ${\displaystyle x,y}$ in ${\displaystyle A}$. La mappa

${\displaystyle f:x\mapsto x^{p},}$

è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se ${\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità.

I campi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$, ha caratteristica ${\displaystyle n}$.

I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica ${\displaystyle p^{k}}$ con ${\displaystyle k}$ tendente a infinito.

Come detto sopra, la caratteristica di un campo ${\displaystyle K}$ è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità ${\displaystyle 1}$ è un sottocampo di ${\displaystyle K}$ che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali. Se è ${\displaystyle p}$, è isomorfo ad un campo finito.

Esistono campi infiniti di caratteristica ${\displaystyle p}$, ad esempio la chiusura algebrica di ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Caratteristica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Caratteristica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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