Sottogruppo caratteristico

In matematica, un sottogruppo caratteristico di un gruppo ${\displaystyle G}$ è un sottogruppo ${\displaystyle H}$ tale che ${\displaystyle \phi (H)=H}$ per ogni automorfismo ${\displaystyle \phi }$ di ${\displaystyle G}$. Esempi di sottogruppi caratteristici sono il sottogruppo banale ${\displaystyle \{e\}}$ formato dal solo elemento neutro di ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle G}$ stesso, il centro e il sottogruppo derivato di ${\displaystyle G}$.

Esempi

• Il centro di un gruppo ${\displaystyle G}$ è sempre un sottogruppo caratteristico. Infatti, dato un elemento ${\displaystyle g\in Z(G)}$, abbiamo che ${\displaystyle (\forall h\in G)gh=hg}$. Ma allora, dato ${\displaystyle \phi }$ automorfismo, abbiamo che ${\displaystyle \forall h\in G}$:

${\displaystyle \phi (g)h=\phi (g)\phi (\phi ^{-1}(h))=\phi (g\phi ^{-1}(h))=\phi (\phi ^{-1}(h)g)=\phi (\phi ^{-1}(h))\phi (g)=h\phi (g)}$

ovvero ${\displaystyle \phi (g)\in Z(G)}$.

• Il sottogruppo derivato di ${\displaystyle G}$, ovvero il sottogruppo generato dai commutatori, è caratteristico, perché l'immagine di ogni commutatore è ancora un commutatore; più precisamente,

${\displaystyle \phi ([g,h])=[\phi (g),\phi (h)]}$.

• Più in generale, ogni elemento delle: serie centrale discendente, serie centrale ascendente, serie derivata, ${\displaystyle p}$-serie discendente, serie di Jennings è un sottogruppo caratteristico.

• Se ${\displaystyle H}$ è l'unico sottogruppo di ${\displaystyle G}$ di una certa cardinalità ${\displaystyle n}$, allora ${\displaystyle H}$ è caratteristico, perché per ogni automorfismo ${\displaystyle \phi }$ l'immagine ${\displaystyle \phi (H)}$ è ancora un sottogruppo di cardinalità ${\displaystyle n}$. Questa condizione non è necessaria: ad esempio, se ${\displaystyle G=D_{4}=\langle \sigma ,\tau \rangle }$ è il gruppo diedrale con 8 elementi (dove ${\displaystyle \sigma }$ è la rotazione e ${\displaystyle \tau }$ una riflessione), allora ${\displaystyle \langle \sigma ^{2}\rangle }$ è un sottogruppo caratteristico (essendo il centro di ${\displaystyle G}$) che ha ordine 2, mentre ${\displaystyle \langle \tau \rangle }$ è un sottogruppo non caratteristico di ordine 2.

• Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico finito è caratteristico (perché non ve ne sono altri della stessa cardinalità).

• Sottogruppo di torsione e il sottogruppo di ${\displaystyle p}$-torsione

• Sottogruppo di Frattini

Proprietà

• Ogni sottogruppo caratteristico è normale; questo segue dal fatto che un sottogruppo è normale in ${\displaystyle G}$ se e solo se è fissato da ogni automorfismo interno. Viceversa, un sottogruppo normale può non essere caratteristico: ad esempio, il prodotto diretto ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ è abeliano, per cui tutti i suoi sottogruppi sono normali, ma l'applicazione ${\displaystyle \phi }$, definita da

${\displaystyle \phi ((a,b))=(b,a)}$

è un automorfismo che manda il sottogruppo ${\displaystyle \langle (1,0)\rangle }$ in ${\displaystyle \langle (0,1)\rangle }$, non in sé.

• Siano ${\displaystyle K<H<G}$. Se ${\displaystyle K}$ è caratteristico in ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle H}$ è caratteristico in ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle K}$ lo è anche in ${\displaystyle G}$. Non è però sufficiente una sola delle due ipotesi: né un sottogruppo non caratteristico di un sottogruppo caratteristico, né un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo non caratteristico sono necessariamente caratteristici.

Bibliografia

• Antonio Machì, Gruppi, Springer, 2007, ISBN 978-88-470-0622-5.

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