Sottogruppo normale

In teoria dei gruppi, il sottogruppo normale (o invariante) è un sottogruppo in cui i laterali sinistro e destro di ogni elemento del gruppo coincidono.

In formule, il sottogruppo ${\displaystyle K\subset G}$ è normale se

${\displaystyle gK=Kg}$

per ogni elemento ${\displaystyle g\in G}$. Il fatto che ${\displaystyle K}$ sia normale per ${\displaystyle G}$ si indica con ${\displaystyle K\triangleleft G}$.

I sottogruppi normali sono importanti perché permettono di definire il gruppo quoziente ${\displaystyle G/K}$.

Definizioni equivalenti

Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi:

• K è un sottogruppo normale se viene mandato in sé da ogni automorfismo interno:

${\displaystyle \forall g\in G,k\in K\quad gkg^{-1}\in K}$

• K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio

Proprietà

• Se ${\displaystyle K\triangleleft H\triangleleft G}$, non è detto che ${\displaystyle K\triangleleft G}$. Infatti possono esserci isomorfismi non interni di ${\displaystyle H}$ che sono isomorfismi interni di ${\displaystyle G}$ e che non mandano ${\displaystyle K}$ in sé. Per esempio, nel gruppo alterno ${\displaystyle A_{4}}$ ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in ${\displaystyle A_{4}}$. Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di ${\displaystyle A_{4}}$ di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in ${\displaystyle A_{4}}$.

Se però si aggiunge l'ipotesi che ${\displaystyle K}$ sia caratteristico, in ${\displaystyle H}$, cioè mandato in sé da ogni automorfismo di ${\displaystyle H}$, si ha che effettivamente ${\displaystyle K\triangleleft G}$.

Esempi

• In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.
• Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.
• I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.
• Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se si ruota, poi si trasla, e infine si ruota nell'altro verso, si ottiene una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).
• L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale.
• L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale.
• Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.
• Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo ${\displaystyle H}$ del gruppo finito ${\displaystyle G}$ è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di ${\displaystyle G}$, allora ${\displaystyle H}$ è un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$.

Bibliografia

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.
• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Voci correlate

• Ideale (matematica)
• Sottogruppo
• Teoria dei gruppi

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Sottogruppo normale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Sottogruppo normale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica