Distribució uniforme contínua

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

Distribució uniforme contínua

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució univariant, família escala de localització, distribució de probabilitat simètrica i Distribució uniforme multidimensional
Notació	${\displaystyle U(a,b)}$ o ${\displaystyle \mathrm {unif} (a,b)}$
Paràmetres	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
Suport	${\displaystyle x\in [a,b]}$
fdp	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{for }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
FD	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{si}}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{si }}x\in [a,b)\\1&{\text{si }}x\geq b\end{cases}}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Mediana	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Moda	qualsevol valor a l'nterval ${\displaystyle (a,b)}$
Variància	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}$
Coeficient de simetria	0
Curtosi	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}$
Entropia	${\displaystyle \ln(b-a)\,}$
FGM	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{si }}t\neq 0\\1&{\text{si}}t=0\end{cases}}}$
FC	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}&{\text{si }}t\neq 0\\1&{\text{si }}t=0\end{cases}}}$
EOM	Uniform_distribution
Mathworld	UniformDistribution

En teoria de probabilitat i estadística, es diu que una variable aleatòria ${\displaystyle X}$ té una distribució uniforme contínua^[1] en un interval ${\displaystyle [a,b]}$ si la probabilitat que ${\displaystyle X}$ pertanyi a un subinterval ${\displaystyle [c,d]\subset [a,b]}$ és proporcional a la longitud de ${\displaystyle [c,d]}$:

La probabilitat que ${\displaystyle X<a}$ o ${\displaystyle X>b}$ és zero.

Abreujadament es diu que ${\displaystyle X}$ és una variable aleatòria uniforme en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$, i s'escriu ${\displaystyle X\,\sim \,U(a,b)}$.

La funció de distribució ${\displaystyle F}$ és calcula de la següent manera: per a ${\displaystyle x<a,\ F(x)=P(X\leq x)=0}$. Per a ${\displaystyle x\in [a,b)}$

Finalment, per a ${\displaystyle x\geq b,\ F(x)=P(X\leq x)=P(0\leq X\leq b)=1.}$

La funció de densitat ${\displaystyle f}$ és

Noteu que la funció de densitat és constant en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$, amb analogia a la distribució uniforme discreta, la funció de probabilitat de la qual és constant en els punts on està definida.

Si dividim l'interval${\displaystyle [a,b]}$ en dues parts iguals, ${\displaystyle [a,(a+b)/2]}$ i ${\displaystyle [(a+b)/2,b]}$, la probabilitat que la variable ${\displaystyle X}$ estigui en una part o en l'altre són iguals a ${\displaystyle 1/2}$. En general, si dividim ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle n}$parts iguals, la probabilitat que estigui en cadascuna de les parts és ${\displaystyle 1/n}$. Intuïtivament, la distribució uniforme contínua és una generalització de la distribució uniforme discreta al cas continu.

Sovint s'utilitza la frase un punt ${\displaystyle X}$ elegit a l'atzar a l'interval ${\displaystyle [a,b]}$ per indicar que ${\displaystyle X\,\sim \,U(a,b)}$.

Relació amb la variable uniforme en ${\displaystyle [0,1]}$

Si ${\displaystyle X\,\sim \,U(a,b)}$, aleshores la variable

${\displaystyle U={\frac {X-a}{b-a}}}$ és uniforme en ${\displaystyle [0,1]}$, en símbols, ${\displaystyle U\,\sim \,U(0,1).}$

Recíprocament, si ${\displaystyle U\,\sim \,U(0,1),}$aleshores la variable definida per

${\displaystyle X=a+(b-a)U}$ és uniforme en ${\displaystyle [a,b]}$

Referències