Distribució zeta

Distribució zeta

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat
Mathworld	ZipfDistribution

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució zeta és una distribució de probabilitat discreta. Si X és una variable aleatòria distribuïda en zeta amb el paràmetre s, aleshores la probabilitat que X prengui el valor enter k ve donada per la funció de massa de probabilitat ^[1]

${\displaystyle f_{s}(k)=k^{-s}/\zeta (s)\,}$

on ζ( s ) és la funció zeta de Riemann (que no està definida per a s = 1).

Les multiplicitats de factors primers diferents de X són variables aleatòries independents.

La funció zeta de Riemann és la suma de tots els termes ${\displaystyle k^{-s}}$ per a l'enter positiu k, apareix així com la normalització de la distribució Zipf. Els termes "distribució Zipf" i "distribució zeta" s'utilitzen sovint de manera intercanviable. Però si bé la distribució Zeta és una distribució de probabilitat per si mateixa, no està associada a la llei de Zipf amb el mateix exponent. Vegeu també la distribució Yule–Simon.^[2]

Definició ^[3]

La distribució Zeta es defineix per a nombres enters positius ${\displaystyle k\geq 1}$, i la seva funció de massa de probabilitat ve donada per ^[4]

${\displaystyle P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s}}$

on ${\displaystyle s>1}$ és el paràmetre, i ${\displaystyle \zeta (s)}$ és la funció zeta de Riemann.

La funció de distribució acumulada ve donada per

${\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}},}$

on ${\displaystyle H_{k,s}}$ és el nombre harmònic generalitzat

${\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}.}$

Referències