Distribució exponencial envoltada

Distribució exponencial envoltada

Funció de densitat de probabilitat El suport es tria per ser [0,2π]
Funció de distribució de probabilitat El suport es tria per ser [0,2π]
Paràmetres	${\displaystyle \lambda >0}$
Suport	${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$
fdp	${\displaystyle {\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}}$
FD	${\displaystyle {\frac {1-e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \arctan(1/\lambda )}$ (circular)
Variància	${\displaystyle 1-{\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}}$ (circular)
Entropia	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\beta -1}{\lambda }}\right)-{\frac {\beta }{\beta -1}}\ln(\beta )}$ on ${\displaystyle \beta =e^{2\pi \lambda }}$ (diferencial)
FC	${\displaystyle {\frac {1}{1-in/\lambda }}}$

En la teoria de la probabilitat i l'estadística direccional, una distribució exponencial envoltada és una distribució de probabilitat envoltada que resulta de l'"embolcall" de la distribució exponencial al voltant del cercle unitari.^[1][2]

Definició

La funció de densitat de probabilitat de la distribució exponencial envoltada és ^[3]

${\displaystyle f_{WE}(\theta ;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda (\theta +2\pi k)}={\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}},}$

per ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ on ${\displaystyle \lambda >0}$ és el paràmetre de velocitat de la distribució sense embolcall. Això és idèntic a la distribució truncada obtinguda restringint els valors observats X de la distribució exponencial amb el paràmetre de velocitat λ al rang ${\displaystyle 0\leq X<2\pi }$.

Funció característica

La funció característica de l'exponencial embolicat és només la funció característica de la funció exponencial avaluada en arguments enters: ^[4]

${\displaystyle \varphi _{n}(\lambda )={\frac {1}{1-in/\lambda }}}$

que produeix una expressió alternativa per a la fdp exponencial embolicat en termes de la variable circular z=e ^{i (θ -m)} vàlida per a tots els θ i m reals:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{WE}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}$

on ${\displaystyle \Phi ()}$ és la funció transcendent de Lerch.

Referències