Hipótese da densidade

Em teoria dos números, a hipótese de densidade permite a obtenção de resultados em teoria dos números primos que são comparáveis ​​com aqueles que seguem a partir da hipótese de Riemann. Por exemplo, segue-se a partir da hipótese de que a densidade suficientemente grande para que haja pelo menos um primeiro número em cada parte do intervalo ${\displaystyle [{x,x+x^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }}].}$

A hipótese de densidade é uma conseqüência da hipótese de Lindelöf, considerada mais forte. Uma diferença entre esta última é que a hipótese de densidade foi parcialmente provada, em termos de vários teoremas de densidade, começando com certos valores de ${\displaystyle 1/2<\sigma _{0}<\sigma .}$

Uma desigualdade proposta fornecendo um limite para o número ${\displaystyle N(\sigma ,T)}$ de zeros da função zeta de Riemann

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s},}$

onde ${\displaystyle s=\sigma +ti}$ no retângulo ${\displaystyle {1/2}<{\sigma }<{\beta }<{1},\mid \gamma \mid \leq {T}.}$

A formulação mais exata para a hipótese da densidade é

${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq cT^{2(1-\sigma )}{ln^{A}}{T}.}$

A mais simples, mas menos precisa formulação é

${\displaystyle N(\sigma ,T)\leq cT^{2(1-\sigma )+\epsilon }.}$

Para o número ${\displaystyle N(\sigma ,T,\chi )}$ de zeros das funções-L de Dirichlet^[1]

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n,k)}{n^{s}}},}$

onde ${\displaystyle \chi (n,k)}$ é um caráter módulo k, é colocada uma hipótese análoga à hipótese da densidade. Em forma de média fica

${\displaystyle \sum _{\chi {\bmod {k}}}^{}N(\sigma ,T,\chi )\leq cT^{2(1-\sigma )+\epsilon }}$^[2]

${\displaystyle \sum _{k\leq Q}^{}\sum _{\chi ^{\ast }{\bmod {k}}}^{}N(\sigma ,T,\chi )\leq cT^{2(1-\sigma )+\epsilon }}$ ^[3]

onde ${\displaystyle \chi ^{\ast }}$ é um caráter primitivo módulo k.

A hipótese da densidade para as funções-L de Dirichlet são usadas na teoria da distribuição de números primos distribuidos em progressões aritméticas.

Referências

Veja também

• Caráter de Dirichlet
• Função L de Dirichlet
• Função zeta de Riemann
• Hipótese generalizada de Riemann
• Métodos de densidade
• Teorema de Bombieri-Vinogradov

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