Função multiplicativa

O conceito de função multiplicativa tem importância capital no desenvolvimento da teoria algébrica dos números, como o produto de Dirichlet, e na teoria analítica dos números, como nas séries de Dirichlet. Para avaliação de uma função multiplicativa basta conhecer seus valores em potências de primos.^[1]

Definição

Uma função aritmética é uma função matemática cujo domínio de definição compreende os números inteiros positivos, isto é, os números naturais. Uma função aritmética não nula ${\displaystyle f}$ é chamada de multiplicativa se

${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$

para todo par m e n de primos relativos (tais que mdc(m,n) = 1).^{[2][Nota 1]}

Uma função aritmética é denominada completamente multiplicativa quando a relação ${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$ é válida para quaisquer naturais m e n. ^[2] Sendo este o caso, então, por exemplo, tem-se ${\displaystyle f}$²(n) = ${\displaystyle f}$(n²).

Exemplos triviais

• A função ${\displaystyle 1}$(n) = 1 para todo número natural n, é uma função completamente multiplicativa. De fato, dados naturais a e b quaisquer, tem-se ${\displaystyle 1}$(ab) = 1 = 1 · 1 = ${\displaystyle 1}$(a)·${\displaystyle 1}$(b).

• A função ${\displaystyle f}$(n) = c para todo natural n, em que c é uma constante diferente da unidade, não é multiplicativa. Dessa maneira, verifica-se facilmente que ${\displaystyle f}$(6) = c ≠ c² = ${\displaystyle f}$(2)·${\displaystyle f}$(3).

• A função identidade ${\displaystyle I_{D}}$(n) = n é completamente multiplicativa, pois se n = ab, com a e b naturais quaisquer, então ${\displaystyle I_{D}}$(n) = n = ab = ${\displaystyle I_{D}}$(a)·${\displaystyle I_{D}}$(b).

Exemplos não triviais

• A função totiente de Euler ${\displaystyle \varphi }$(n) é uma função multiplicativa.^[1][2] Entretanto ${\displaystyle \varphi }$ não é uma função completamente multiplicativa: dado um primo p arbitrário, ${\displaystyle \varphi }$(p²) = p(p - 1) ≠ (p - 1)² = ${\displaystyle \varphi }$(p)·${\displaystyle \varphi }$(p).

• A função divisor ${\displaystyle \sigma }$_k(n) também é função multiplicativa,^[1][2] mas não é completamente multiplicativa já que, por exemplo, para um primo p constata-se que ${\displaystyle \sigma }$(p²) = 1 + p + p² ≠ 1 + 2p + p² = (1 + p)(1 + p) = ${\displaystyle \sigma }$(p)·${\displaystyle \sigma }$(p).

• A função número de divisores D(n) é multiplicativa^[2] (não poderia ser diferente, dado que D(n) = ${\displaystyle \sigma }$₀(n), que é multiplicativa conforme o exemplo anterior). É fácil ver que D(n) não é completamente multiplicativa: D(2) = 2, D(4) = 3 e D(2)·D(2) ≠ D(4).

Teoremas

Teorema 1

Se ${\displaystyle f}$ é uma função multiplicativa então   ${\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)}$   também é uma função multiplicativa.

Demonstração^[1]

Uma vez que todo divisor de mn pode ser expresso de modo único por meio do produto d₁·d₂, tal que d₁|m e d₂|n, com d₁ e d₂ relativamente primos, e como, por hipótese, ${\displaystyle f}$ é multiplicativa, segue que

${\displaystyle {\begin{aligned}\ F(mn)&=\sum _{d|mn}f(d)\\&=\sum _{d_{1}d_{2}|mn}f(d_{1}d_{2})\\&=\sum _{\begin{matrix}^{d_{1}|m}\\^{d_{2}|n}\end{matrix}}f(d_{1})f(d_{2})\\&=\sum _{d_{1}|m}\sum _{d_{2}|n}f(d_{1})f(d_{2})\\&=\sum _{d_{1}|m}f(d_{1})\sum _{d_{2}|n}f(d_{2})\\&=F(m)F(n)\end{aligned}}}$

Como aplicação do teorema, pode-se provar que a função ${\displaystyle \sigma }$ é multiplicativa (a extensão da prova para ${\displaystyle \sigma }$_k com k qualquer não é complexa): definindo ${\displaystyle f}$ como a função identidade, então (como já visto nos exemplos triviais acima) ${\displaystyle f}$ é multiplicativa e segundo o teorema é também multiplicativa a função

${\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)=\sum _{d|n}Id(d)=\sum _{d|n}d=\sigma (n)}$

O caso ${\displaystyle \sigma }$₀(n) = ${\displaystyle \tau }$(n) também é simples: toma-se ${\displaystyle f}$(d) = 1 para todo divisor d de n e então

${\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)=\sum _{d|n}1(d)=\sum _{d|n}1=\sum _{d|n}d^{0}=\sigma _{0}(n)=\tau (n)}$

Teorema 2

Se  ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+}}$  é uma função completamente multiplicativa e monótona então existe  ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}}$  tal que  ${\displaystyle f(n)=n^{x}}$.

Demonstração^[3]

Como ${\displaystyle f}$ é por hipótese monótona, suponha ${\displaystyle f}$ estritamente crescente (caso contrário, considere ${\displaystyle f^{-1}}$). Seja ${\displaystyle x=\log _{2}f(2)}$. Logo ${\displaystyle f(n)=n^{x}}$. Assim, para todo natural m tem-se

${\displaystyle 2^{\lfloor m\log _{2}n\rfloor }\leq 2^{n}<2^{\lceil m\log _{2}n\rceil }\Rightarrow 2^{x\lfloor m\log _{2}n\rfloor }\leq \left(f(n)\right)^{m}<2^{x\lceil m\log _{2}n\rceil }\Rightarrow 2^{\frac {x\lfloor m\log _{2}n\rfloor }{m}}\leq f(n)<2^{\frac {x\lceil m\log _{2}n\rceil }{m}}}$

em que ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ e ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ são respectivamente a função chão e a função teto. Além disso, como

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {x\lfloor m\log _{2}n\rfloor }{m}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {x\lceil m\log _{2}n\rceil }{m}}=x\log _{2}n}$,

segue finalmente que

${\displaystyle f(n)=2^{x\log _{2}n}=n^{x}}$.

Notas e referências

Notas

Referências

Ligações Externas

• [Multiplicative Function] (em inglês). Weisstein, Eric W. "Multiplicative Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• [Completely Multiplicative Function] (em inglês). Weisstein, Eric W. "Completely Multiplicative Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• [Multiplicative Number Theoretic Function] (em inglês). Weisstein, Eric W. "Multiplicative Number Theoretic Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

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