Zgodność relacji z działaniem

Zgodność relacji z działaniem – pojęcie algebry abstrakcyjnej; własność pewnych relacji, zwłaszcza dwuczłonowych, określonych na strukturach algebraicznych. Mówi się, że relacja ${\displaystyle R}$ na zbiorze ${\displaystyle X}$ jest zgodna z działaniem ${\displaystyle *}$ na tym zbiorze ${\displaystyle (*:X\times X\to X),}$ jeśli zachodzi implikacja^[1][2]:

${\displaystyle \forall x,y,x',y'\in X:xRy\land x'Ry'\Rightarrow (x*x')R(y*y').}$

Innymi słowy dowolne dwa zdania wyrażające tę relację można ze sobą łączyć przez wykonywanie działania stronami. Definiuje się też zgodność relacji z działaniami zewnętrznymi^[3] oraz z działaniami o większej liczbie argumentów^[4] .

Przykłady

Standardowy porządek liczb rzeczywistych jest zgodny z dodawaniem tych liczb^[2]:

${\displaystyle \forall x,y,x',y'\in \mathbb {R} :(x<y\land x'<y')\Rightarrow (x+x'<y+y').}$

Porządek ten nie jest jednak zgodny z takimi działaniami na tym zbiorze jak:

• odejmowanie: ${\displaystyle 0<1}$ i ${\displaystyle 0<1,}$ ale ${\displaystyle 0-0\nless 1-1;}$
• mnożenie^[2]: ${\displaystyle 1<2}$ i ${\displaystyle -2<-1,}$ ale ${\displaystyle 1(-2)\nless 2(-1).}$

Relacja podzbioru jest zgodna z działaniami sumy zbiorów i ich przekroju^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle (A_{1}\subseteq B_{1}\land A_{2}\subseteq B_{2})\Rightarrow (A_{1}\cup A_{2}\subseteq B_{1}\cup B_{2});}$

${\displaystyle (A_{1}\subseteq B_{1}\land A_{2}\subseteq B_{2})\Rightarrow (A_{1}\cap A_{2}\subseteq B_{1}\cap B_{2}).}$

Rola

Zgodność skierowania z działaniami pojawia się w definicjach grupy uporządkowanej oraz ciała uporządkowanego. Dowodzi się też, że przystawanie elementów grupy względem podgrupy jest zgodne z działaniem tej struktury wtedy i tylko wtedy, gdy ta podgrupa jest normalna^[5]; jest to jedna z równoważnych definicji podgrupy normalnej:

${\displaystyle H<G,}$

${\displaystyle a\equiv _{H}b:\Leftrightarrow ab^{-1}\in H,}$

${\displaystyle (\forall a,b,c,d\in G:a\equiv _{H}b\land c\equiv _{H}d\Rightarrow ac\equiv _{H}bd)\Leftrightarrow H\trianglelefteq G.}$

Dowodzi się też, że jeśli jakaś relacja równoważności jest zgodna z działaniem grupy, to istnieje podgrupa definiująca tę relację w powyższy sposób^[5].

Przypisy

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.
• Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
• Marek Ptak, Karol Gryszka, Beata Hejmej: Algebra liniowa. Notatki do wykładu. Kraków: Wydawnictwo Szkolne Omega, 2019. ISBN 978-83-7267-734-1.