Dwunastościan rombowy

Dwunastościan rombowy
(Kliknij, aby zobaczyć animowany model)
Typ	Wielościan Catalana
Ściana	romb
Liczba ścian	12
Liczba krawędzi	24
Liczba wierzchołków	14 = 6 + 8
Wielościan dualny	Sześcio-ośmiościan

Dwunastościan rombowy – wielościan mający 12 ścian, 14 wierzchołków i 24 krawędzie. Wszystkie ściany są przystającymi rombami, w których stosunek długości przekątnych jest równy ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ skąd wynika, że kąt ostry każdej ściany jest równy ${\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}\approx 70^{\circ }.}$

W każdym wierzchołku wielościanu spotykają się 3 lub 4 ściany. W ośmiu wierzchołkach stykają się kątami rozwartymi 3 romby, zaś w pozostałych sześciu wierzchołkach stykają się kątami ostrymi 4 romby. Krótsze przekątne wszystkich ścian są krawędziami sześcianu. Dłuższe przekątne ścian są krawędziami ośmiościanu foremnego. Miarą kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami jest ${\displaystyle 120^{\circ }.}$

Dwunastościan rombowy jest wielościanem Catalana dualnym do sześcio-ośmiościanu i dlatego grupa symetrii bryły działa przechodnio na zbiorze ścian. Przechodniość ta oznacza, że dla dwóch ścian ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ istnieje obrót lub symetria przekształcające bryłę na siebie, a ścianę ${\displaystyle A}$ na ścianę ${\displaystyle B.}$
Grupa symetrii dwunastościanu rombowego działa także przechodnio na zbiorze krawędzi tej bryły.

Sfery związane z dwunastościanem rombowym

Jeśli długość krawędzi dwunastościanu rombowego jest równa ${\displaystyle a,}$ to długości promieni niektórych sfer są następujące:

• promień sfery wpisanej stycznej do wszystkich 12 ścian:

${\displaystyle r_{i}=a{\sqrt {\frac {2}{3}}}\approx 0{,}8164965809\cdot a,}$

• promień sfery stycznej do wszystkich 24 krawędzi:

${\displaystyle r_{m}=a{\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}\approx 0{,}94280904158\cdot a,}$

każdy punkt styczności leży w odległości ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ krawędzi od wierzchołka, w którym zbiegają się 3 krawędzie,

• promień sfery opisanej:

${\displaystyle r_{o}=a{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}154700538\cdot a.}$

chodzi o najmniejszą sferę „zamykającą w sobie” dwunastościan rombowy, przechodzi ona przez 6 wierzchołków, w których zbiegają się 4 krawędzie tej bryły.

Pole i objętość

Pole powierzchni ${\displaystyle S}$ i objętość ${\displaystyle V}$ dwunastościanu rombowego o krawędzi ${\displaystyle a}$ są równe:

${\displaystyle S=8{\sqrt {2}}a^{2}\approx 11{,}3137085a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {16}{9}}{\sqrt {3}}a^{3}\approx 3{,}07920144a^{3}.}$

Występowanie w przyrodzie

Niektóre kryształy występujące w przyrodzie przybierają formę dwunastościanu rombowego^[1]. Są to przede wszystkim kryształy granatu, ale tę formę przyjmuje wiele innych minerałów, na przykład magnetyt, sodalit, spinel i sfaleryt.

Pszczoły używają geometrii tej bryły do tworzenia plastrów miodu, których komórki są graniastosłupami prawidłowymi, sześciokątnymi zamkniętymi połówkami dwunastościanu rombowego.

Jak można sobie wyobrazić kształt dwunastościanu rombowego

Krótkie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami rozwartymi są krawędziami i wierzchołkami sześcianu o objętości równej połowie objętości samego dwunastościanu. Długie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami ostrymi, są krawędziami i wierzchołkami ośmiościanu foremnego.

Ten dwunastościan można skonstruować, wychodząc z sześcianu, w następujący sposób: budujemy ostrosłup, którego podstawą jest ściana, a wierzchołkiem lustrzane odbicie środka sześcianu w płaszczyźnie ściany, powiększając sześcian o ten ostrosłup; powtarzając to dla wszystkich ścian uzyskamy dwunastościan rombowy, a użyte ostrosłupy będą składać się na kompletny sześcian – więc objętość dwunastościanu będzie 2 razy większa.

Powyższe wywody można zilustrować w układzie współrzędnych w przestrzeni:

• Punkty ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ są wierzchołkami sześcianu o ścianach rozpiętych na sześciu czwórkach punktów: ${\displaystyle \{(1,\pm 1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(-1,\pm 1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,-1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,\pm 1,1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,\pm 1,-1)\}.}$
• Do powyższych 8 punktów dołączamy 6 następnych: ${\displaystyle (\pm 2,0,0),}$ ${\displaystyle (0,\pm 2,0),}$ ${\displaystyle (0,0,\pm 2).}$ Są one obrazami początku układu współrzędnych ${\displaystyle O}$ w symetrii względem poszczególnych ścian, np. punkt ${\displaystyle (-2,0,0)}$ jest obrazem ${\displaystyle O}$ w symetrii względem ściany ${\displaystyle (-1,\pm 1,\pm 1),}$ a punkt ${\displaystyle (2,0,0)}$ – w symetrii względem ściany ${\displaystyle (1,\pm 1,\pm 1).}$
• 14 wyżej wymienionych punktów jest wierzchołkami dwunastościanu rombowego^[2].

Takie dwunastościany mogą wypełnić przestrzeń – żeby skonstruować taki układ wystarczy wyjść z układu sześcianów wypełniających przestrzeń, usunąć z nich co drugi, tak aby z każdych dwóch o wspólnej ścianie jeden został usunięty, i pozostałych użyć do konstrukcji dwunastościanów, odbijając ich środki względem sześciu ścian.

Wielościany pokrewne

Dwunastościan rombowy jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [n, 3] grupą Coxetera. Sześcian (geometria) może bowiem być uważany za sześciościan rombowy, gdzie romby są kwadratami.

Wielościan			Parkietaż euklidesowy	Parkietaż hiperboliczny
[3, 3]	[4, 3]	[5, 3]	[6, 3]	[7, 3]	[8, 3]
Sześcian	Dwunastościan rombowy	Trzydziestościan rombowy

Związki z bryłami czterowymiarowymi

Czterowymiarowym odpowiednikiem dwunastościanu rombowego jest 24-komórka^[3] (jest to komórka foremna^[4]).

Jej wierzchołkami są:

• 16 wierzchołków czterowymiarowego odpowiednika sześcianu – 8-komórki: ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1).}$ Jej 3-wymiarowymi ścianami są sześciany rozpięte na ośmiu ósemkach punktów: ${\displaystyle \{(1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(-1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,1,\pm 1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,-1,\pm 1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,\pm 1,1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,\pm 1,-1,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,\pm 1,\pm 1,1)\},}$ ${\displaystyle \{(\pm 1,\pm 1,\pm 1,-1)\}.}$
• Ponadto wierzchołkami 24-komórki są obrazy środka ${\displaystyle O}$ układu współrzędnych w ośmiu ścianach: ${\displaystyle (\pm 2,0,0,0),}$ ${\displaystyle (0,\pm 2,0,0),}$ ${\displaystyle (0,0,\pm 2,0),}$ ${\displaystyle (0,0,0,\pm 2).}$

Przekrój 24-komórki przestrzenią 3-wymiarową prostopadłą do największej przekątnej w jej środku jest dwunastościanem rombowym. Wynika to z powyższych opisów obu figur geometrycznych w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Dwunastościan jest także otoczką wypukłą rzutu prostokątnego 8-komórki wzdłuż wielkiej przekątnej. Ilustruje to rysunek poniżej. Rzut zielonych punktów jest wtedy środkiem dwunastościanu.

Przypisy

Bibliografia

• The Geometrical Foundation of Natural Structure (Section 3-9)
• Magnus Wenninger: Dual Models. Cambridge University Press, 1983. DOI: 10.1017/CBO9780511569371. MR730208. ISBN 978-0-521-54325-5.brak strony w książce
• The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic dodecahedron)
• Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984.brak strony w książce
• Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Virtual Reality Polyhedra – Encyklopedia wielościanów.

Modele komputerowe

• Rhombic Dodecahedron. polyhedra.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-08-24)]. -- interaktywne modele 3-wymiarowe.
• Relating a Rhombic Triacontahedron and a Rhombic Dodecahedron (Sándor Kabai)
• Rhombic Dodecahedron 5-Compound (Sándor Kabai)
• Rhombic Dodecahedron 5-Compound (Sándor Kabai)

Projekty papierowe

• Rhombic Dodecahedron Calendar – kalendarz w postaci dwunastościanu rombowego (bez użycia kleju)
• Another Rhombic Dodecahedron Calendar. southernct.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-07-01)].

Zastosowania praktyczne

• Archimede Institute – projekty przedmiotów w kształcie dwunastościanu rombowego.