Théorème de Stampacchia

Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.

Énoncé

Soient

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ (la norme induite étant notée ${\displaystyle \|u\|=\langle u,u\rangle ^{1/2}}$).
• ${\displaystyle K~}$ une partie convexe fermée non vide de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• ${\displaystyle a(.\ ,.)~}$ une forme bilinéaire qui soit
  • continue sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}$ : ${\displaystyle \exists \,c>0\quad \forall u,v\in {\mathcal {H}}\quad \|a(u,v)\|\leq c\|u\|\|v\|\quad }$
  • coercive sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ : ${\displaystyle \exists \,\alpha >0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad \ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}\quad }$
• ${\displaystyle L(.)~}$ une forme linéaire continue sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Sous ces conditions, il existe un unique ${\displaystyle u}$ de ${\displaystyle K}$ tel que

${\displaystyle (1)\quad \forall \ v\in K\quad a(u,v-u)\geq L(v-u)\quad }$

Si de plus la forme bilinéaire ${\displaystyle a}$ est symétrique, alors ce même ${\displaystyle u}$ est l'unique élément de ${\displaystyle K}$ qui minimise la fonctionnelle ${\displaystyle I:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }$ définie par ${\displaystyle I(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)}$ pour tout ${\displaystyle v~}$ de ${\displaystyle K~}$, en particulier :

${\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in K\quad I(u)=\min _{v\in K}I(v)}$

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$ tel que

${\displaystyle \forall v\in {\mathcal {H}},\quad Lv=\langle f,v\rangle .}$

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ tel que

${\displaystyle \forall u,v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle .}$

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

${\displaystyle \qquad (3)\quad \forall \ u\in {\mathcal {H}}\quad \|A(u)\|\leq c\|u\|}$

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

${\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0}$

Pour tout réel ${\displaystyle r}$ strictement positif, c'est également équivalent à

${\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0}$

Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit

${\displaystyle \exists !\,u\in K\quad u=p_{K}(rf-rA(u)+u)}$

où ${\displaystyle p_{K}}$ est l'opérateur de projection sur ${\displaystyle K}$. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain ${\displaystyle r>0}$, il existe un unique ${\displaystyle u\in K}$ qui vérifie l'équation de point fixe ${\displaystyle u=P_{r}(u)}$ où l'application ${\displaystyle P_{r}:K\rightarrow K}$ est définie par ${\displaystyle P_{r}(v)=p_{K}{\big (}rf-rA(v)+v{\big )}}$.

Pour cela, choisissons ${\displaystyle r}$ de telle façon que ${\displaystyle P_{r}}$ soit une application contractante. Soient ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ deux éléments de ${\displaystyle K}$. Comme l'opérateur de projection ${\displaystyle p_{K}}$ est 1-lipschitzien, on a

${\displaystyle \|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|\leq \|x-y-rA(x-y)\|}$

D'où

${\displaystyle \|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|^{2}\leq \|x-y\|^{2}+r^{2}\|A(x-y)\|^{2}-2r\langle x-y,A(x-y)\rangle }$

Comme la forme bilinéaire ${\displaystyle a}$ est coercive, on a ${\displaystyle \langle A(x-y),x-y\rangle =a(x-y,x-y)\geq \alpha \|x-y\|^{2}}$. Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité ${\displaystyle \|A(x-y)\|\leq c\|x-y\|}$. Par conséquent,

${\displaystyle \|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|^{2}\leq {\big (}1+r^{2}c^{2}-2r\alpha {\big )}\|x-y\|^{2}}$

L'application ${\displaystyle P_{r}}$ est contractante dès que ${\displaystyle 1+r^{2}c^{2}-2r\alpha <1}$, c'est-à-dire si on a ${\displaystyle 0<r<2\alpha /c^{2}}$. En choisissant un tel ${\displaystyle r}$ et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique ${\displaystyle u\in K}$ tel que ${\displaystyle u=p_{K}{\big (}rf-rA(u)+u{\big )}}$, ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire ${\displaystyle a}$ est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. La coercivité implique que ${\displaystyle a}$ est définie et positive. On note par ${\displaystyle \langle .,.\rangle _{a}}$ ce produit scalaire qui est défini par :

${\displaystyle \forall x,y\in {\mathcal {H}}\quad \langle x,y\rangle _{a}=a(x,y)}$

Par application du théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert : procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$ tel que ${\displaystyle L(v)=\langle f,v\rangle _{a}}$ pour tout ${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$.

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

${\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-u,v-u\rangle _{a}\leq 0}$

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

${\displaystyle \exists !\,u\in K\quad u=p_{K}^{a}(f)}$

où ${\displaystyle p_{K}^{a}}$ est l'opérateur de projection sur ${\displaystyle K}$ utilisant le produit scalaire défini par ${\displaystyle a}$. La relation (1) est donc équivalente à :

${\displaystyle \langle f-u,f-u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle _{a}}$

soit encore

${\displaystyle \langle u,u\rangle _{a}-2\langle f,u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\left(\langle v,v\rangle _{a}-2\langle f,v\rangle _{a}\right)}$

ou bien

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a(u,u)-L(u)=\min _{v\in K}\left({\frac {1}{2}}a(v,v)-L(v)\right)}$,

ce qui conclut la démonstration.

Applications

• Ce théorème sert notamment en mécanique où ${\displaystyle I}$ est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
• Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de formulations faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
• Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

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