Théorème de Lax-Milgram

Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

Énoncé

Soient :

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, de norme associée notée ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ;
• ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ est complexe) qui est :
  • continue sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}$ : ${\displaystyle \exists c>0\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}$,
  • coercive sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (certains auteurs disent plutôt ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-elliptique) : ${\displaystyle \exists \alpha >0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$ ;
• ${\displaystyle L(.)}$ une forme linéaire continue sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Sous ces hypothèses, il existe un unique ${\displaystyle u}$ de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ tel que l'équation ${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$ soit vérifiée pour tout v de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ :

${\displaystyle (1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad \forall v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=L(v)}$.

Si de plus la forme bilinéaire ${\displaystyle a}$ est symétrique, alors ${\displaystyle u}$ est l'unique élément de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ qui minimise la fonctionnelle ${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }$ définie par ${\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)}$ pour tout ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}$.

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$ tel que

${\displaystyle \forall v\in {\mathcal {H}}\quad L(v)=\langle f,v\rangle }$.

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ tel que

${\displaystyle \forall u,v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle }$.

La proposition (1) se réécrit alors :

${\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad Au=f}$.

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de ${\displaystyle a}$ et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout ${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}$

d'où ${\displaystyle \|Av\|\geq \alpha \|v\|}$ pour tout ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, ce qui montre que A est injectif et d'image fermée. Notons ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }}$.

Soit ensuite un élément w de ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}$, on a par définition ${\displaystyle \langle Aw,w\rangle =0}$ et donc :

${\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}$

d'où ${\displaystyle w=0}$. Ainsi, ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}$ est réduit à ${\displaystyle \{0\}}$, ce qui montre que A est surjectif.

L'endomorphisme A est bijectif ; il existe donc un unique u de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ tel que ${\displaystyle Au=f}$ et il est donné par ${\displaystyle u=A^{-1}f}$.

Remarque

Sans calculer u, on a l'inégalité

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}$

où ${\displaystyle \|\cdot \|'}$ désigne la norme de l'espace dual ${\displaystyle {\mathcal {H}}'}$.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ :

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-L(w){\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$.

Comme u est l'unique solution de la proposition (1), cela donne

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$.

Et comme a est coercive, on a :

${\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}$.

On a donc ${\displaystyle J(u)\leq J(v)}$ pour tout ${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$, d'où le résultat (2).

Applications

• Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher u dans ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, on cherche ${\displaystyle u_{n}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$, un sous-espace de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ de dimension finie n, alors :
  • dans le cas où a est symétrique, ${\displaystyle u_{n}}$ est le projeté de u au sens du produit scalaire défini par a ;
  • si l'on se donne ${\displaystyle (\varphi _{i})}$ une base de ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :

    ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}$ avec ${\displaystyle A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})}$ et ${\displaystyle b_{i}=L\varphi _{i}}$.

• On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa.

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Articles connexes

• Théorème de Babuška-Lax-Milgram (en)
• Théorème de Browder-Minty

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