Seconde conjecture de Hardy-Littlewood

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En théorie des nombres, la seconde conjecture de Hardy-Littlewood prédit que la fonction de compte des nombres premiers est sous-additive.

Elle a été formulée en 1923^[1].

Soit π(x) le nombre de nombres premiers p tels que p ≤ x, la conjecture postule que

π(x + y) - π(x) ≤ π(y)

pour tous x, y ≥ 2.

Ce qui signifie que le nombre de nombres premiers entre x + 1 et x + y est toujours inférieur ou égal au nombre de nombres premiers entre 1 et y.

Ceci est incompatible avec la première conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi que l'a démontré Ian Richards en 1974^[2].

La plupart des mathématiciens estiment donc que la conjecture est fausse^[3] et qu'un contre exemple doit exister^[4] pour x compris entre 1,5 × 10¹⁷⁴ et 2,2 × 10^1 198.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Second Hardy–Littlewood conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « On some problems of "partitio numerorum" III: On the expression of a number as a sum of primes », Acta Mathematica, vol. 44,‎ 1923, p. 1–70 (DOI 10.1007/BF02403921)
↑ (en) Ian Richards, « On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 80,‎ 1974, p. 419–438 (DOI 10.1090/S0002-9904-1974-13434-8)
↑ David Louapre, « La deuxième conjecture de Hardy-Littlewood », 13 octobre 2014 (consulté le 7 avril 2023).
↑ « 447-tuple calculations » (consulté le 4 octobre 2017)

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)