Constante des nombres premiers

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En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel ${\displaystyle \rho }$, compris entre 0 et 1, dont le ${\displaystyle n}$-ième chiffre binaire après la virgule est 1 si ${\displaystyle n}$ est premier et 0 si ${\displaystyle n}$ est composé ou égal à 1.

Description

De façon plus rigoureuse, le développement binaire de ${\displaystyle \rho }$ correspond à la fonction caractéristique ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {P} }$ des nombres premiers :

${\displaystyle \rho =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}.}$

Le début du développement décimal de ρ est : ${\displaystyle 0{,}4146825098}$^[1]. Le début de son développement binaire est : ${\displaystyle 0{,}0110101000}$^[2].

On démontre par l'absurde que ${\displaystyle \rho }$ est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.

Notons ${\displaystyle r_{k}}$ le ${\displaystyle k}$-ième chiffre de ce développement binaire de ${\displaystyle \rho }$. Il existe donc deux entiers ${\displaystyle k>0}$ et ${\displaystyle N}$ tels que ${\displaystyle r_{n}=r_{n+k}}$ pour tout ${\displaystyle n\geq N}$.

Pour ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle N}$ comme ci-dessus, choisissons un nombre premier ${\displaystyle p\geq N}$. Alors, ${\displaystyle 1=r_{p}=r_{p+k}=r_{p+2k}=\dots =r_{p+pk}}$, ce qui est absurde puisque ${\displaystyle p+pk=p(k+1)}$ est composé.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime constant » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Eric W. Weisstein, « Prime Constant », sur MathWorld

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

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