Nouvelle conjecture de Mersenne

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En mathématiques, la nouvelle conjecture de Mersenne (ou conjecture de Bateman, Selfridge et Wagstaff) est une conjecture concernant certains nombres premiers ; elle prévoit que pour tout entier naturel impair p, si deux des conditions suivantes sont vérifiées, alors la troisième aussi :

1. ${\displaystyle p=2^{k}\pm 1\,}$ ou ${\displaystyle p=4^{k}\pm 3\,}$ pour un certain k.
2. ${\displaystyle 2^{p}-1\,}$ est premier (un nombre de Mersenne premier).
3. ${\displaystyle {\frac {2^{p}+1}{3}}\,}$ est premier (un nombre premier de Wagstaff).

Conjecture de Lenstra-Pomerance-Wagstaff

Lenstra, Pomerance et Wagstaff ont conjecturé que la quantité de nombres premiers de Mersenne dont l'exposant p est plus petit que x peut être approchée par

${\displaystyle {\rm {e^{\gamma }\cdot \log _{2}(x)}}}$,

où ${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler-Mascheroni, ${\displaystyle {\rm {e^{\gamma }=1{,}781\dots }}}$

Ce qui est à rapprocher de ce qu'un nombre impair n pris "au hasard" a une probabilité proche de 2/ln(n) d'être premier. Un nombre de la forme 2^p-1 aurait alors une probabilité 2/(p.ln(2)) d'être premier, on additionne les nombres 2/(p.ln(2)) inférieurs à x, cela fait environ 2.ln(x)/ln(2) = 2*log_2(x)). Il faut bien sûr une analyse un peu plus poussée pour se rapprocher de la conjecture énoncée. On retient surtout que les nombres premiers de Mersenne ne sont guère plus rares ou fréquents que les autres nombres premiers.

Bibliographie

(en) Paul Bateman (en) John Selfridge et Samuel Wagstaff, The new Mersenne conjecture, Amer. Math. Monthly, 96 (1989) 125-128

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
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