Pentagono (geometria)

Pentagono erregularra
Mota	Poligono erregularra
Aldeak	5
Schläfli sinboloa	{5}
CDD
Simetria-taldea	D5 2×5 ordena
Azalera	${\displaystyle \simeq 1,720a^{2}}$
Barne-angelua	108°
Propietateak	ganbila, ziklikoa, aldeberdina, isogonala

Pentagonoa (πεντάγωνον hitz elkarte grekotik sortutako hitza, πεντά, "bost" eta γωνον, "angeluak") bost aldeko poligonoari deritzo.

Pentagono erregularra

Pentagono erregularra alde guztiak eta barne-angelu guztiak berdinak dituen pentagonoa da. Pentagono erregular baten barne-angeluen baturak (5-2)·180° = 540° edo ${\displaystyle 3\pi }$ rad balio du. Horrenbestez, barne-angelu bakoitzaren neurria 108º-koa edo ${\displaystyle 3\pi /5}$ rad-koa da.

DE, EA, eta AB segmentuak berdinak direnez, zirkunferentzia zirkunskribatuan determinatzen dituzten arkuak ere berdinak dira. Hortaz, DCE, ECA eta ACB angeluak berdinak dira. Hiruren batura 108º denez, bakoitzak 36º neurtzen du.

Azalera

Pentagono erregular baten aldearen luzera a bada

${\displaystyle A={\frac {a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5a^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1,720477401a^{2}}$

Eraikitze grafikoa

Irudi honetan, ikus daiteke nola eraikitzen den pentagono erregular bat konpasa eta erregela erabiliz.

Urrezko arrazoiarekin erlazioa

Elkarren segidan ez dauden bi erpin batzen dituen segmentua eta aldeetako baten arteko arrazoia urrezko arrazoia deritzo. Adibidez:

${\displaystyle CE=({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})CD}$

Simetriagatik, CE eta CA segmentuak berdinak dira. ANF eta CMF triangelu antzekoak dira. Beren aldeen antzekotasunetik honako hau ondoriozta dezakegu:

${\displaystyle {\frac {MC}{AN}}={\frac {FC}{AF}}}$

Alde batetik, MC CE-ren erdia dela eta AN AB-ren erdia dela daukagu. Bestetik, FCD triangelua isoszele denez gero, FC = CD da. Ondorioz, AF = AC - FC = CE - CD. Horrexegatik:

${\displaystyle {\frac {CE}{CD}}={\frac {CD}{CE-CD}}={\frac {1}{CE/CD-1}}}$

CE/CD ${\displaystyle \phi }$ren gatik ordezkatuz:

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\phi -1}}\qquad \,(1)}$

hau da ${\displaystyle \phi -1=1/\phi }$. Ekuazio honek urrezko arrazoia definitzen du.

Urrezko zenbakiak (${\displaystyle \phi }$) bi propietate bitxi betetzen ditu:

• ${\displaystyle \phi }$-ri 1 gehitzen badiogu edo ${\displaystyle 1/\phi }$ kalkulatzen badugu, balio berbera lortzen dugu:

1 + ${\displaystyle \phi }$ = 1 / ${\displaystyle \phi }$

• 1 zenbakiarii ${\displaystyle \phi }$ kenduz gero edo ${\displaystyle \phi ^{2}}$ kalkulatuz gero, balio berbera lortzen dugu:

1 – ${\displaystyle \phi }$ = ${\displaystyle \phi ^{2}}$

Kanpo estekak

• Datuak: Q127840
• Multimedia: Pentagons / Q127840