Liksidig triangel

En liksidig triangel är en triangel vars sidor är lika långa. Alla vinklar i en sådan triangel är 60° (${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi }{3}}}$) eftersom en triangels totala vinkelsumma är 180° (${\displaystyle \textstyle \pi }$).

En liksidig triangel är en regelbunden polygon med tre sidor och har därför Schläfli-symbolen ${\displaystyle \scriptstyle \left\{3\right\}}$.

Egenskaper

För den liksidiga triangeln ${\displaystyle \triangle ABC}$ med sidlängden ${\displaystyle a}$ i figur 2 gäller:

Den liksidiga trianglens höjd

En liksidig triangels höjd ges av: ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Härledning

Betrakta exempelvis den rätvinkliga triangeln ${\displaystyle \triangle AC'C}$ i figur 2 med längden på hypotenusan ${\displaystyle |{\overline {AC}}|=a}$ och längden på kateterna ${\displaystyle |{\overline {AC'}}|={\frac {a}{2}}}$ respektive ${\displaystyle |{\overline {CC'}}|=h}$

Pythagoras sats ger:

${\displaystyle a^{2}=({\frac {a}{2}})^{2}+h^{2}={\frac {a^{2}}{4}}+h^{2}\Leftrightarrow }$

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {3a^{2}}{4}}\Leftrightarrow }$

${\displaystyle h={\sqrt {\frac {3a^{2}}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

Omvänt har vi också ${\displaystyle a={\frac {2h}{\sqrt {3}}}}$

Den liksidiga triangelns area

En liksidig triangels area ges av: ${\displaystyle A={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$

Härledning

${\displaystyle A={\frac {h\cdot a}{2}}}$

med höjden enligt ovan ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$ får vi

${\displaystyle A={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{2}}a\cdot a}{2}}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$ och

${\displaystyle A={\frac {h\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot {\frac {2h}{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}$

De inskrivna och omskrivna cirklarnas radier

Den inskrivna cirkelns radie ges av: ${\displaystyle r={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {h}{3}}={\frac {R}{2}}}$ och den omskrivna cirkelns radie ges av: ${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}}={\frac {2h}{3}}=2r}$

Härledning

Betrakta de båda kongruenta rätvinkliga trianglarna ${\displaystyle \triangle AMC'}$ och ${\displaystyle \triangle ABA'}$. Hypotenusans längd hos dessa är ${\displaystyle R}$ respektive ${\displaystyle a}$ medan den till hörnet ${\displaystyle A}$ motstående kateten har längden ${\displaystyle r}$ respektive ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {a}{({\frac {a}{2}})}}=2\Leftrightarrow R=2r}$

Vi ser också att höjden ${\displaystyle h=|{\overline {CM}}|+|{\overline {MC'}}|=R+r}$ och då ${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$ enligt ovan har vi:

${\displaystyle 3r=R+r=h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\Leftrightarrow r={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {({\frac {2h}{\sqrt {3}}})}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {h}{3}}}$ och

${\displaystyle R=2r=2\cdot {\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$ och ${\displaystyle R=2r={\frac {2h}{3}}}$

Referenser

• Trianglar på Matteboken.se