Matriz de cisalhamento

A Matriz de Cisalhamento ou Matriz de Corte é matematicamente uma matriz elementar que representa a adição do múltiplo de uma linha ou coluna para outra. Esta matriz pode ser derivada, tendo a Matriz identidade e a substituição de alguns elementos a zero com um ou mais valores diferentes de zero (λ).

Abaixo, uma típica matriz de cisalhamento:

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$

O nome Cisalhamento ou Corte refere-se ao fato da matriz representar uma transformação de cisalhamento. Geometricamente, tal transformação leva pares de pontos num espaço linear, que são axialmente separadas ao longo do eixo e cuja linha da matriz contém o elemento de corte, e substitui os pares de pontos cuja separação não é puramente axial, mas tem dois vetores componentes. Assim, o eixo de cisalhamento é sempre um autovetor de S.

Transformações no Plano

T : R2 → R2

Cisalhamento horizontal

T(x, y) = (x+λy, y)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+\lambda \ y\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Cisalhamento Vertical T(x, y) = (x, λx+y)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\\lambda \ x+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda \ &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Transformação em 3D

Um exemplo de utilização da matriz de cisalhamento em 3D é em Resistência dos Materiais no cálculo geral de Tensão normal e Tensão de cisalhamento.

${\displaystyle [T_{C}]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$

Propriedades

Se S é uma matriz de cisalhamento n×n, então:

• S tem posto n e portanto é inversível.
• 1 é o único autovalor de S, então det S = 1 e consequentemente S = n.
• O autovetor de S tem dimensão n-1.
• S é assimétrica.
• S pode ser feita dentro de uma matriz em bloco pela operação de troca de uma linha por uma coluna.
• Area, Volume, ou qualquer outra medida de capacidade superior, ou Polígono de ordem superior, são invariantes frente a matriz de cisalhamento de vértices do Polígono.

Exemplo de Aplicação Prática

• Matrizes de Cisalhamento são geralmente usadas em computação gráfica.

A matriz de cisalhamento pode ser utilizada para transformar o volume de visão obtido através de uma projeção oblíqua em um paralelepípedo regular.

• Exemplo:

Considerando o vetor de projeção :${\displaystyle V_{p}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$, deve-se encontrar a matriz de cisalhamento que alinhe este vetor com o vetor normal ao plano de visão. Esta transformação é representada pela equação abaixo:

${\displaystyle V_{p}=V_{p}S'}$

Onde S’ representa um cisalhamento no eixo z:

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&\lambda _{1}&0&0\\0&1&\lambda _{2}&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Para obter-se os parâmetros  :${\displaystyle \lambda _{1}e\lambda _{2}}$ pode-se substituir S’ na equação anterior, obtendo as equações a seguir:

${\displaystyle 0=p_{x}+\lambda _{1}p_{z}}$

${\displaystyle 0=p_{y}+\lambda _{2}p_{z}}$

Resultando em:

${\displaystyle \lambda _{1}=-p_{x}/p_{z}}$

${\displaystyle \lambda _{2}=-p_{y}/p_{z}}$

Referências Bibliográficas

• Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial . Ed. Mc Graw-Hill. 2005.
• Carvalho, P.C.P. Introdução à geometria espacial”. Coleção Professor de Matemática. SBM, 2005.
• CROCOMO, M. K. Computação Gráfica - Notas Didáticas – Viewing”. USP – Universidade de São Paulo. ICMC – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. São Carlos. 2010.
• DOLCE, O. & POMPEO, J. N. Geometria Espacial”. Ed. Atual. 2005.
• Este artigo inclui texto do artigo Shear matrix^{[ligação inativa]} publicado com licença GNU em CFD online wiki.