Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienten er en grunnleggende matematisk funksjon i det matematiske delområdet kombinatorikk. Den angir hvor mange forskjellige kombinasjoner en kan velge ${\displaystyle k}$ objekter fra en mengde av ${\displaystyle n}$ ulike objekter (uten tilbakelegging, uavhengig av rekkefølgen). Sagt på en annen måte angir binomialkoeffisienten antall delmengder med ${\displaystyle k}$ elementer i en mengde med ${\displaystyle n}$ elementer.

Binomialkoeffisienten av et naturlig tall n og et heltall k er definert som det naturlige tallet

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\quad {\mbox{hvis }}n\geq k\geq 0\qquad {\mbox{(1)}}}$

og som er null når k < 0 eller k > n. Her betegner n! fakultetet av n. Ifølge Nicholas J. Higham, ble denne notasjonen introdusert av Albert von Ettinghausen i 1826, selv om disse tallene var kjent i århundrer før dette; se Pascals trekant.

Binomialkoeffisienten av n og k blir også skrevet som C(n, k), _nC_k eller ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ (C står for det engelske ordet combination) og leses «n over k». For å spare plass bruker vi den første av disse tre notasjonene.

For eksempel kan binomialkoeffisienten brukes til å beregne hvor mange mulige tallkombinasjoner som finnes i Lotto:

${\displaystyle \mathrm {C} (34,7)={\frac {34!}{7!(34-7)!}}={\frac {34!}{7!27!}}={34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28 \over 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5379616}$

Hvilket igjen betyr at sannsynligheten for å få sju rette i Lotto på en gitt rekke er:

${\displaystyle {1 \over 5379616}\approx {1,86\cdot 10^{-7}}}$

Binomialkoeffisientene er koeffisienter i utvidelsen av binomet ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ (derav navnet):

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}$

Dette generaliseres ved binomialformelen, som tillater eksponenten n å være et komplekst tall, (spesielt tillater dette n å være ethvert reelt tall, ikke nødvendigvis bare positive heltall).

Utledning fra binomutvidelse

Når eksponenten er 1, blir ${\displaystyle (x+y)^{1}}$ til ${\displaystyle x+y}$. Når eksponenten er 2, blir ${\displaystyle (x+y)^{2}}$ til ${\displaystyle (x+y)(x+y)}$, som former ledd som følger. Det første leddet får vi ved å gange x fra begge faktorene, slik at vi får ${\displaystyle x^{2}}$; likeså for y, slik at vi får leddet ${\displaystyle y^{2}}$. Men xy leddet kan formes av x fra den første og y fra den andre faktoren, eller y fra den første og x fra den andre faktoren; derfor får leddet koeffisienten 2. Når eksponenten er 3, reduseres ${\displaystyle (x+y)^{3}}$ til ${\displaystyle (x+y)^{2}(x+y)}$, hvor vi allerede vet at ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$. Igjen oppstår ekstremene ${\displaystyle x^{3}}$ og ${\displaystyle y^{3}}$ på et unikt vis. Men leddet ${\displaystyle x^{2}y}$ er enten 2xy ganget med x eller ${\displaystyle x^{2}}$ ganget med y, som gir koeffisienten 3; likeså oppstår ${\displaystyle xy^{2}}$ på to måter, ved å summere koeffisientene 1 og 2 får vi 3.

Dette foreslår en induksjon. Slik at for eksponenten 4, har hvert ledd sammenlagt grad (sum av eksponentene) på 4, med 4-k faktorer av x og k faktorer av y. Hvis k ikke er 0 eller 1 (leddene ${\displaystyle x^{4}}$ eller ${\displaystyle y^{4}}$), da oppstår leddet på to måter, fra tilstøtende koeffisienter med sammenlagt grad 3. For eksempel ${\displaystyle x^{2}y^{2}}$ er begge ${\displaystyle xy^{2}}$ ganget med x og ${\displaystyle x^{2}y}$ ganget med y, slik at leddets koeffisienten blir 3+3. Dette er opprinnelsen til Pascals trekant, som er diskutert nedenfor.

Sett fra et annet perspektiv, for å forme ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$ fra n faktorer av ${\displaystyle (x+y)}$, må vi velge y fra k av faktorene og x fra resten. Vi teller mulighetene ved å betrakte de n! permutasjonene av faktorene. Hver permutasjon fremstilles som en uordnet liste med tall fra 1 til n. Vi velger en x fra de n−k første faktorene, og en y fra de resterende k faktorene; på denne måten vil hver permutasjon bidra til leddet ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$. For eksempel, listen ⟨4,1,2,3⟩ velger x fra faktorene 4 og 1, og y velger faktorer fra 2 og 3, som en måte å forme leddet ${\displaystyle x^{2}y^{2}}$.

(x +¹ y)(x +² y)(x +³ y)(x +⁴ y)

Men den distinkte listen ⟨1,4,3,2⟩ gjør akkurat det samme utvalget; formelen for binomialkoeffisienten må fjerne denne overflødigheten. De n-k faktorene av x har (n−k)! permutasjoner, og de k faktorene av y har k! permutasjoner. Derfor er n!/(n−k)!k! antall virkelig distinkte måter å forme leddet ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$.

Diskusjonen kan videreføres til tilfellet hvor hver faktor er en sum av flere variabler, som naturligvis leder til definisjonen av en multinomialkoeffisient. En gunstig notasjon bruker en liste av variabler ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},...,x_{m})}$, med eksponentene gitt i en annen liste, ${\displaystyle E=(e_{1},...,e_{m})}$, kjent som et multi-indeks. Leddene i utvidelsen av ${\displaystyle (x_{1}+...+x_{m})^{n}}$ har formen

${\displaystyle {\mathbf {x} }^{E}=x_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{m}^{e_{m}},}$

hvor ${\displaystyle |E|=e_{1}+...+e_{m}=n}$, og koeffisienten til et slikt ledd er multinomialkoeffisienten

${\displaystyle {\frac {n!}{e_{1}!e_{2}!\cdots e_{m}!}}.}$

Den enkle binomialkoeffisienten er tilfellet der m=2.

Pascals trekant

Pascals regel er det viktige gjentakelsesforholdet

${\displaystyle \mathrm {C} (n,k)+\mathrm {C} (n,k+1)=C(n+1,k+1),\qquad (3)}$

som følger direkte fra definisjonen. Dette gjentakelsesforholdet kan brukes til å bevise, ved matematisk induksjon, at C(n, k) er et naturlig tall for alle n og k, et faktum som ikke er umiddelbart tydelig ut ifra definisjonen.

Den gir også opphav til pascals trekant:

row 0                     1
row 1                   1   1
row 2                 1   2   1
row 3               1   3   3   1
row 4             1   4   6   4   1
row 5           1   5   10  10   5   1
row 6         1   6   15  20  15   6   1
row 7       1   7   21  35  35   21  7   1
row 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1

rad nummer n inneholder tallene C(n, k) for k = 0,...,n. Den konstrueres ved å begynne med enere på utsiden og så legge sammen nabotall og skrive summen rett under. Denne metoden gjør det mulig å raskt regne ut binomial koeffisienter uten å måtte bruke brøk eller multiplikasjon. For eksempel, ved å se på den femte raden i trekanten, kan en straks lese av at

${\displaystyle (x+y)^{5}=\mathbf {1} x^{5}+\mathbf {5} x^{4}y+\mathbf {10} x^{3}y^{2}+\mathbf {10} x^{2}y^{3}+\mathbf {5} xy^{4}+\mathbf {1} y^{5}}$.

Differansene mellom elementer på andre diagonaler er elementene på forrige diagonal – slik som følger av gjentakelsesforholdet (3) ovenfor.

I Precious Mirror of the Four Elements (1303), nevner Zhu Shijie trekanten som en eldgammel metode for å løse binomialkoeffisienter, noe som indikerer at metoden var kjent for kinesiske matematikere fem århundrer før Pascal.

Kombinatorikk og statistikk

Binomialkoeffisienter er av stor betydning i kombinatorikk, fordi de gir ferdige formler for visse hyppige telleproblemer:

• Alle mengder med n elementer har ${\displaystyle \mathrm {C} (n,k)}$ forskjellige delmengder som har k elementer hver (disse kalles k-kombinasjoner).
• Antallet strenger av lengde n som inneholder k ett-tall og n−k null-tall er ${\displaystyle \mathrm {C} (n,k).}$
• Det finnes ${\displaystyle \mathrm {C} (n+1,k)}$ strenger som består av k ett-tall og n null-tall slik at ingen ett-tall er tilstøtende.
• Antallet sekvenser som består av n naturlige tall som har summer lik k er ${\displaystyle \mathrm {C} (n+k-1,k)}$; dette er også antallet måter å velge k elementer ut av en mengde med n hvis tilbakelegging er tillat.
• Catalantallene har en enkel formulering som involverer binomialkoeffisisnter; de kan brukes til å telle diverse strukturer, slik som trær og parentesuttrykk.

Binomialkoeffisienter forekommer også i formelen for binomisk distribusjon i statistikk og i formelen for en Bézier kurve.

Formler som inneholder binomialkoeffisienter

Følgende formler kan være nyttige:

${\displaystyle \mathrm {C} (n,k)=\mathrm {C} (n,n-k)\qquad \qquad (4)\,}$

Dette utledes fra (2) ved at ${\displaystyle (x+y)^{n}=(y+x)^{n}}$, og dette viser seg i den numeriske "symmetrien" i Pascals trekant.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)=2^{n}\qquad (5)}$

Fra (2) ved å bruke at x = y = 1. Dette er det samme som å si at summen av elementene av en rad i Pascals trekant alltid tilsvarer to opphøyd i et heltall.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\mathrm {C} (n,k)=n2^{n-1}\qquad (6)}$

Fra (2), etter å ha derivert og satt inn x = y = 1.

${\displaystyle \sum _{j}\mathrm {C} (m,j)\mathrm {C} (n-m,k-j)=\mathrm {C} (n,k)\qquad (7a)}$

Siden C(n, k) er definert som null hvis k > n, er summen endelig. Ved å utvide (1+x)^m (1+x)^n-m = (1+x)ⁿ med (2). Likning (7a) generaliserer likning (3). Likning (7a) er Vandermonde's konvolusjonsformel (etter Alexandre-Théophile Vandermonde) og er essensielt en form for Chu-Vandermonde identiteten. Den kan vises å gjelde for tilfeldige, komplekse ${\displaystyle m}$ og ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle \sum _{m}\mathrm {C} (m,j)\mathrm {C} (n-m,k-j)=\mathrm {C} (n+1,k+1)\qquad (7b)}$

Likning (7a) gjelder for alle verdier av m, mens likning (7b) gjelder for alle verdier av j.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)^{2}=\mathrm {C} (2n,n)\qquad (8)}$

Fra (7) ved å bruke m = k = n og (4).

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mathrm {C} (n-k,k)=\mathrm {F} (n+1)\qquad (9)}$

Her betegner F(n + 1) Fibonacci-tallene. Denne formelen om diagonalene i Pascals trekant kan bevises med induksjon ved å bruke (3).

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}\mathrm {C} (j,k)=\mathrm {C} (n+1,k+1)\qquad (10)}$

Dette kan bevises ved induksjon av n ved å bruke (3).

Divisorer til binomialkoeffisienter

Primtallsdivisorer til C(n, k) kan tolkes som følger: Hvis p er et primtall og r er den høyeste eksponenten slik at slik at ${\displaystyle p^{r}}$ er delelig med C(n, k), da er r likt antallet naturlige tall j slik at brøkdelen av ${\displaystyle k/p^{j}}$ er større enn brøkdelen av ${\displaystyle n/p^{j}}$. Særskilt er C(n, k) alltid delelig med n/gcd(n, k).

Ulikheter for binomialkoeffisienter

Følgende grenser for C(n, k) gjelder:

• ${\displaystyle {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}$
• ${\displaystyle {n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}$
• ${\displaystyle {n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}}$

Generalisering til komplekse verdier

Binomialkoeffisienten ${\displaystyle {z \choose k}}$ kan defineres for alle komplekse tall z og alle naturlige tall k som følger:

${\displaystyle {z \choose k}=\prod _{n=1}^{k}{z-k+n \over n}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}\qquad (11)}$

Denne generaliseringen er kjent som den generelle binomialkoeffisienten og er brukt i utredningen av binomialformelen og oppfyller egenskapene (3) og (7).

For en konstant k, er uttrykket ${\displaystyle f(z)={z \choose k}}$ et polynom av k'te grad med rasjonale koeffisienter.

f(z) er det unike polynomet av grad k som oppfyller

f(0)=f(1)=...=f(k-1)=0

og

f(k)=1.

Ethvert polynom p(z) av grad d kan skrives på formen

${\displaystyle p(z)=\sum _{k=0}^{d}a_{k}{z \choose k}}$

Dette er viktig i teorien om differenslikninger og kan bli sett på som en diskret analog til Taylors teorem.

Newtons binomserie får den enkle formen

${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{r=0}^{\infty }{\alpha \choose r}z^{r}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+..}$.

Det er ikke vanskelig å vise at rekkens konvergensradius er 1.

Generalisering til q-serie

Binomialkoeffisienten har en q-analog generalisering kjent som Gauss-binomet.

Se også

• Fakultet (matematikk)
• Liste over fakultet- og binomemner

Referanser

Denne artikkelen bruker materiale fra følgende PlanetMath artikler, som er lisensiert under GFDL:

• Binomial Coefficient
• Bounds for binomial coefficients
• Proof that C(n,k) is an integer
• Generalized binomial coefficients