逆ガウス分布

逆ガウス分布（ぎゃく-ぶんぷ、英: inverse Gaussian distribution）は、連続確率分布の一種である。ワルド分布（英: Wald distribution）とも呼ばれる。

定義と性質

${\displaystyle [0,\infty )}$ の範囲の値を取る実数の確率変数 ${\displaystyle x}$ が逆ガウス分布に従うとき、その累積分布関数は以下である。

${\displaystyle F(x)=\Phi \left\{{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right\}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left\{-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right\}}$

ここで

${\displaystyle \Phi (u)=\int _{-\infty }^{u}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right){\mathit {dz}}}$

であり、${\displaystyle \mu >0,~\lambda >0}$ がパラメータである。このときの確率密度関数は以下である。

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right)}$

期待値は ${\displaystyle \mu }$、分散は ${\displaystyle {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$ である。

${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$ で正規分布に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 ${\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sqrt {\mu ^{3}/\lambda }}}}$ は標準正規分布 ${\displaystyle N(0,1)}$ に近づく。

逆ガウス分布のキュムラント母関数 (モーメント母関数の対数) が正規分布のキュムラント母関数の逆関数になっているため、この名がある。

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ブラウン運動

外部リンク

• 朱鷺の杜Wiki