数学 の複素解析 におけるオイラーの公式 （オイラーのこうしき、英 : Euler's formula ）とは、複素指数関数 と三角関数 の間に成り立つ、以下の恒等式 のことである：
e i z = cos z + i sin z {\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z} ここで z {\displaystyle z} 複素数 、 e {\displaystyle e} ネイピア数 、 i {\displaystyle i} 虚数単位 、 cos {\displaystyle \cos } 余弦関数 、 sin {\displaystyle \sin } 正弦関数 である。
特に、 z = φ ( ∈ R ) {\displaystyle z=\varphi (\in \mathbb {R} )} e i φ {\displaystyle e^{i\varphi }} 絶対値 1 {\displaystyle 1} 偏角 φ [ r a d ] {\displaystyle \varphi [\mathrm {rad} ]}
オイラーの公式の図形的な表現。複素数平面において、複素数 eiθ は、単位円周上の偏角 θ [rad] オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、電気工学 ・物理学 などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者のリチャード・P・ファインマン はこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。
概要 この公式の名前は、18世紀の数学者レオンハルト・オイラー に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ とされる。コーツは1714年 に
log ( cos x + i sin x ) = i x {\displaystyle \log \left(\cos x+i\sin x\right)=ix\ } を発見した[3] 多価性 を見逃した。1740年頃、オイラーは、コーツの公式を基に、指数関数と三角関数の級数展開を比較することによって、オイラーの公式を証明し、1748年に発表した[3]
オイラーの公式を導入することにより、極形式の複素数は、より簡素な表記に変換することができる。すなわち、複素数の極形式 z = r (cos θ + i sin θ )z = reiθ θ = π
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。
オイラーの公式により、余弦関数および正弦関数は、双曲線関数 に変換することができる：
cos θ = cosh i θ {\displaystyle \cos \theta =\cosh i\theta } sin θ = 1 i sinh i θ {\displaystyle \sin \theta ={\tfrac {1}{i}}\sinh i\theta } 応用上では、三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式 やフーリエ級数 などが利用しやすくなる。
指数関数と三角関数 実関数としての指数関数 e x 三角関数 cos x , sin x をそれぞれマクローリン展開 すると
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ( x ∈ R ) {\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}\quad (x\in \mathbb {R} )}
(1 )
cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n ( x ∈ R ) {\displaystyle \cos x=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\,x^{2n}\quad (x\in \mathbb {R} )}
(2 )
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 ( x ∈ R ) {\displaystyle \sin x=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\,x^{2n+1}\quad (x\in \mathbb {R} )}
(3 )
となる。これらの冪級数 の収束半径 が ∞ であることは、ダランベールの収束判定法 によって確認することができる[注 1] x を複素数全体に拡張することができ、広義一様収束 する。つまりこれらの級数によって表される関数は整関数 である[注 2] 解析接続 すると、一致の定理 より、複素数全体での正則関数 としての拡張は一意であり、この収束冪級数で表される。
ここで、 ex の x を ix に置き換え、eix の冪級数が絶対収束することより級数の項の順序は任意に交換可能であることを考慮すれば
e i x = ∑ n = 0 ∞ i n n ! x n = ∑ n = 0 ∞ i 2 n ( 2 n ) ! x 2 n + ∑ n = 0 ∞ i 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = cos x + i sin x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {i^{n}}{n!}}x^{n}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {i^{2n}}{(2n)!}}x^{2n}+\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {i^{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}+i\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=\cos x+i\sin x\end{aligned}}} が得られる。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数 の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 ea eb = e a +b [注 3] [4]
オイラーの公式により、三角関数を複素指数関数で表すことができる。余弦関数、正弦関数は
cos z = e i z + e − i z 2 , sin z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}} となる。
証明 この公式には、上記の冪級数展開による証明 の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。ただし、以下の微分 を用いた証明については、実変数を複素数変数におき換えても、これらの議論が成立していることを、別途で証明する必要がある（複素関数論 ）。
微分による証明 証明 — 微分 を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x )
f ( x ) := ( cos x − i sin x ) ⋅ e i x . {\displaystyle f(x):=(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.}
(1 )
f (x )
f ′ ( x ) = ( cos x − i sin x ) ′ ⋅ e i x + ( cos x − i sin x ) ⋅ ( e i x ) ′ (Leibniz's rule) = ( − sin x − i cos x ) ⋅ e i x + ( cos x − i sin x ) ⋅ i e i x = { ( − sin x − i cos x ) + ( i cos x + sin x ) } ⋅ e i x ( i 2 = − 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix}\\&=\left\{(-\sin x-i\cos x)+(i\cos x+\sin x)\right\}\cdot e^{ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0\end{aligned}}} したがって、すべての実数 x について f' (x ) = 0f (x )定数関数 であることと同値 である。よって f (x ) = f (0)
f ( x ) = ( cos 0 − i sin 0 ) ⋅ e i ⋅ 0 = 1 {\displaystyle f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1}
(2 )
となる。(2) (1)
( cos x − i sin x ) ⋅ e i x = 1. {\displaystyle (\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}=1.}
(3 )
ここで (3) (cos x - i sin x ) の複素共役 (cos x + i sin x ) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sin2 x + cos2 x = 1 よりオイラーの公式が得られる[5]
e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
証明 — x の関数 f (x )
f ( x ) := ( cos x + i sin x ) ⋅ e − i x . {\displaystyle f(x):=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.}
(4 )
f (x )x について微分すると以下のようになる。
f ′ ( x ) = ( cos x + i sin x ) ′ ⋅ e − i x + ( cos x + i sin x ) ⋅ ( e − i x ) ′ (Leibniz's rule) = ( − sin x + i cos x ) ⋅ e − i x − ( cos x + i sin x ) ⋅ i e − i x = ( − sin x + i cos x − i cos x + sin x ) ⋅ e − i x ( i 2 = − 1 ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix}+(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix}\\&=(-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0.\end{aligned}}} したがって、すべての実数 x について f' (x ) = 0f (x )f (x ) = f (0)
f ( x ) = ( cos 0 + i sin 0 ) ⋅ e − i ⋅ 0 = 1 {\displaystyle f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1}
(5 )
が成り立つ。 (5) (4)
( cos x + i sin x ) ⋅ e − i x = 1 {\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=1} が導出される。この両辺に e ix a , b に対して成り立つ指数法則 e a e b e a + b [4]
e i x = ( cos x + i sin x ) ⋅ e i x e − i x = ( cos x + i sin x ) ⋅ e ( i x − i x ) = ( cos x + i sin x ) ⋅ e 0 = ( cos x + i sin x ) ⋅ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{0}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.\end{aligned}}} 以上より
e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
微分方程式による証明 証明 — 微分方程式 を用いた証明を示す。x を実数、x の関数 f (x )
f ( x ) := cos x + i sin x . {\displaystyle f(x):=\cos x+i\sin x.} また記法を簡潔にするために補助的な方程式
y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} によって y を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
y = cos x + i sin x . {\displaystyle y=\cos x+i\sin x.}
(1 )
(1) x = 0
y = cos 0 + i sin 0 = 1 {\displaystyle y=\cos 0+i\sin 0=1}
(2 )
を得る。(1) x について微分し、両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる。
i d y d x = − i sin x ⏟ d cos x d x = − sin x − cos x ⏟ d sin x d x = cos x {\displaystyle i{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\underbrace {-i\sin x} _{{\frac {\mathrm {d} \cos x}{\mathrm {d} x}}=-\sin x}-\underbrace {\cos x} _{{\frac {\mathrm {d} \sin x}{\mathrm {d} x}}=\cos x}}
(3 )
(3) (1)
d y d x = i y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=iy}
(4 )
を得る[注 4] α について、関数 e αx
d d ( α x ) e α x = e α x . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} (\alpha x)}}e^{\alpha x}=e^{\alpha x}.}
(5 )
(4) (5) α = i f (0) = 1 より
y = e i x {\displaystyle y=e^{ix}}
(6 )
が成り立つ。最後に (1) (6) y を消去すればオイラーの公式が得られる。
e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
2階線型微分方程式による証明 証明 — 線型微分方程式 を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数
{ y = e i x y = cos x y = sin x {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle y=e^{ix}\\\displaystyle y=\cos x\\\displaystyle y=\sin x\end{cases}}}
(1 )
はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。
d 2 y d x 2 + y = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{{\mathrm {d} x}^{2}}}+y=0.}
(2 )
(2) 基本解 の線型結合 として表すことができる。 cos x と sin x は (2) ロンスキー行列式
| cos x sin x − sin x cos x | = cos 2 x + sin 2 x = 1 {\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{vmatrix}}=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1} は 0 にならない。よって、(1) (2)
e i x = C 1 cos x + C 2 sin x {\displaystyle e^{ix}=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x}
(3 )
が成立する。また、(3)
i e i x = − C 1 sin x + C 2 cos x {\displaystyle ie^{ix}=-C_{1}\sin x+C_{2}\cos x}
(4 )
となる。(3) (4) x = 0
1 = C 1 i = C 2 {\displaystyle {\begin{aligned}1=C_{1}\\i=C_{2}\end{aligned}}}
(5 )
となるので[注 5] (5) (3) [7]
e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
ロンスキー行列による証明 証明 —
| W | = | e i x cos x + i sin x i e i x − sin x + i cos x | = e i x ( − sin x + i cos x ) − e i x ( i cos x − sin x ) = 0 {\displaystyle |W|={\begin{vmatrix}e^{ix}&\cos x+i\sin x\\ie^{ix}&-\sin x+i\cos x\end{vmatrix}}=e^{ix}(-\sin x+i\cos x)-e^{ix}(i\cos x-\sin x)=0} として cos x + i sin x と e ix C について
e i x = C ( cos x + i sin x ) {\displaystyle e^{ix}=C(\cos x+i\sin x)} が成立する[注 6] x = 0C = 1
e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} が得られる[8]
ド・モアブルの定理による証明 証明 — ド・モアブルの定理 を用いた証明を示す[9]
cos n θ + i sin n θ = ( cos θ + i sin θ ) n , cos n θ − i sin n θ = ( cos θ − i sin θ ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta +i\sin n\theta &=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n},\\\cos n\theta -i\sin n\theta &=(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.\end{aligned}}} 辺々加えて
2 cos n θ = ( cos θ + i sin θ ) n + ( cos θ − i sin θ ) n . {\displaystyle 2\cos n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.} 右辺の 2 つの項を二項定理 によって展開すれば、i の奇数 乗の項は相殺 し、i の偶数 乗の項だけを二重に加えることになるので
cos n θ = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos θ ) n − 2 k ( sin θ ) 2 k = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos θ ) n ( tan θ ) 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n-2k}(\sin \theta )^{2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n}(\tan \theta )^{2k}\end{aligned}}} を得る。これが cos θ の n 倍角の公式の閉じた表示式である（[s ] は s の整数部分 ）。 この式において nθ = x
cos x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos x n ) n ( tan x n ) 2 k . {\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}.} 和 の上端を ∞ に書き直したが、k > n /2二項係数 の部分が 0 になるので、これは n / 2 n → ∞極限 においては
cos x n ∼ 1 , sin x n ∼ x n , tan x n ∼ x n {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}\sim 1\ ,\ \sin {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}\ ,\ \tan {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}} となり、各項目において漸近的に等しい ことが確認できる。 したがって
( n 2 k ) ∼ n 2 k ( 2 k ) ! , ( cos x n ) n ∼ 1 , ( tan x n ) 2 k ∼ x 2 k n 2 k {\displaystyle {\binom {n}{2k}}\sim {\frac {n^{2k}}{(2k)!}}\ ,\ \left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\sim 1\ ,\ \left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}\sim {\frac {x^{2k}}{n^{2k}}}} となる。よって
cos x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! x 2 k {\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}} が得られる。 同様に sin x について考えれば
sin x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) ( cos x n ) n ( tan x n ) 2 k + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k+1}} より
sin x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}} が得られる。 ここで、n → ∞
cos x n = 1 + a n {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+a_{n}} とおけば
( cos x n ) n = ( 1 + a n ) n = 1 + n a n + ( n 2 ) a n 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}&=\left(1+a_{n}\right)^{n}\\&=1+na_{n}+{\binom {n}{2}}{a_{n}}^{2}+\dotsb \end{aligned}}} であるから、an が小さいとき、n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが、an が 1 / n 0 に近づくときには、極限に影響しない。 本議論において
a n = cos x n − 1 = − 2 sin 2 x 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=\cos {\frac {x}{n}}-1\\&=-2\sin ^{2}{\frac {x}{2n}}\end{aligned}}} [注 7] であるから
a n ∼ − x 2 2 n 2 {\displaystyle a_{n}\sim -{\frac {x^{2}}{2n^{2}}}} となる。 したがって、ランダウの記号 を用いて漸近挙動を示せば
cos x n = 1 + O ( 1 n 2 ) . {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right).} ゆえに
lim n → ∞ ( cos x n ) n = 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}=1.} ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
cos n θ + i sin n θ = ( cos θ + i sin θ ) n . {\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.} 上記式において nθ = x
cos x + i sin x = ( cos x n + i sin x n ) n . {\displaystyle \cos x+i\sin x=\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}.} ここで、n → ∞
cos x n + i sin x n = 1 + i x n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}=1+{\frac {ix}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)} であるから
lim n → ∞ ( cos x n + i sin x n ) n = lim n → ∞ ( 1 + i x n ) n = e i x . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {ix}{n}}\right)^{n}=e^{ix}.} よって
e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} が得られる。
脚注 [脚注の使い方 ]
参照 ^ a b John Stillwell (2002). Mathematics and Its History . Springer. https://books.google.co.jp/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315&redir_esc=y&hl=ja ^ a b 複素関数を学ぶ人のために － 山口大学 理学部 物理・情報科学科 - 芦田 正巳 ^ 複素数の取り扱いとオイラーの公式 ^ eπi + 1 = 0 ^ 2階微分方程式 ^ オイラーの数学から — 『無限解析序説』への招待 － 野海 正俊 注釈 ^ 冪級数 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \scriptstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} R は、極限 r = lim n → ∞ | a n a n + 1 | {\displaystyle \scriptstyle r=\lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|} R = r ex の収束半径は lim n → ∞ | 1 / n ! 1 / ( n + 1 ) ! | = lim n → ∞ ( n + 1 ) = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {1/n!}{1/(n+1)!}}\right|&\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }(n+1)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}} cos x の収束半径は、x 2 lim n → ∞ | ( − 1 ) n / ( 2 n ) ! ( − 1 ) n + 1 / { 2 ( n + 1 ) } ! | = lim n → ∞ { 2 ( n + 1 ) } ! ( 2 n ) ! = lim n → ∞ ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!}}\right|&\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\{2(n+1)\}!}{(2n)!}}\\\scriptstyle &\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }(2n+2)(2n+1)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}} sin x の収束半径は、同様に lim n → ∞ | ( − 1 ) n / ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n + 1 / { 2 ( n + 1 ) + 1 } ! | = lim n → ∞ ( 2 n + 3 ) ! ( 2 n + 1 ) ! = lim n → ∞ ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!}}\right|&\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {(2n+3)!}{(2n+1)!}}\\\scriptstyle &\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }(2n+3)(2n+2)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}} (1) (2) (3) ∞ であることが証明された。 ^ これらは多項式でないので超越整関数であり、無限遠点 を真性特異点 に持つ ^ e a + b = ∑ n = 0 ∞ ( a + b ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ∑ r = 0 n n ! r ! ( n − r ) ! a r b n − r = ∑ n = 0 ∞ ∑ r = 0 n a r b n − r r ! ( n − r ) ! = ∑ r = 0 ∞ ∑ n = r ∞ a r b n − r r ! ( n − r ) ! = ∑ r = 0 ∞ a r r ! ∑ n = r ∞ b n − r ( n − r ) ! ( m ≡ n − r ) = ∑ r = 0 ∞ a r r ! ∑ m = 0 ∞ b m m ! = e a e b / / {\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle e^{a+b}&\scriptstyle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(a+b)^{n}}{n!}}\\&\scriptstyle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum \limits _{r=0}^{n}{\frac {n!}{r!(n-r)!}}a^{r}b^{n-r}\\&\scriptstyle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }\sum \limits _{r=0}^{n}{\frac {a^{r}b^{n-r}}{r!(n-r)!}}\\&\scriptstyle =\sum \limits _{r=0}^{\infty }\sum \limits _{n=r}^{\infty }{\frac {a^{r}b^{n-r}}{r!(n-r)!}}\\&\scriptstyle =\sum \limits _{r=0}^{\infty }{\frac {a^{r}}{r!}}\sum \limits _{n=r}^{\infty }{\frac {b^{n-r}}{(n-r)!}}\ (m\,\equiv \,n-r)\\&\scriptstyle =\sum \limits _{r=0}^{\infty }{\frac {a^{r}}{r!}}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {b^{m}}{m!}}\\&\scriptstyle =e^{a}e^{b}\quad //\end{aligned}}} ^ i 2 = −1i = −1 / i ^ e 0 = 1sin 0 = 0, cos 0 = 1 を利用した。^ cos x + i sin x は関数として 0 でないので。^ 三角関数の半角公式を利用した。 参考文献 ウィキメディア・コモンズには、オイラーの公式
小笠英志『相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう』ベレ出版、2011年1月20日、165-171頁。ISBN 978-486064-267-9。 杉浦光夫 『解析入門I』東京大学出版会 〈基礎数学2〉、1980年3月31日。ISBN 978-4-13-062005-5。 田村二郎 『解析関数』（新版）裳華房 〈数学選書3〉、1983年11月15日。ISBN 978-4-7853-1307-4。 Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All , The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-328-3, http://paginas.fisica.uson.mx/horacio.munguia/Personal/Documentos/Libros/Euler%20The_Master%20of%20Us.pdf W. ダンハム 著、黒川信重 、若山正人 、百々谷哲也 訳『オイラー入門』丸善出版〈シュプリンガー数学リーディングス 第1巻〉、2019年4月。ISBN 978-4-621-06568-6。 ファインマン、リチャード 、レイトン、サンズ 著、坪井忠二 訳『力学』 I、岩波書店 〈ファインマン物理学〉、1977年、294,307頁。ISBN 978-4-00-007711-8。OCLC 47339138。 藤田宏 『応用数学』放送大学教育振興会〈放送大学教材〉、1999年3月。ISBN 978-4-595-56042-2。 吉田武『オイラーの贈物 人類の至宝 eiπ = −1ISBN 978-4-924523-14-2。 吉田武『オイラーの贈物 人類の至宝 eiπ = −1ISBN 978-4-480-08675-4。 関連項目 外部リンク 
![{\displaystyle \varphi [\mathrm {rad} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b3014ca9dd2265911afd55123b4660cfc0717d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n-2k}(\sin \theta )^{2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n}(\tan \theta )^{2k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bcaf620a694b66642398e169491fcf54dfea80)
