Quadrato
Un quadrato, in geometria, è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti.
Confronto con altre figure geometriche
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Caratteristiche principali nella geometria euclidea
Le diagonali di un quadrato euclideo sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
- .
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
- per il teorema di Pitagora.
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli ; naturalmente la rotazione di radianti è la simmetria centrale.
Equazione di un quadrato su un piano cartesiano
Il quadrato di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Il suo bordo è quindi
Questo può essere anche descritto come
- In matematica, questo quadrato rappresenta la palla unitaria del piano rispetto alla norma uniforme.
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è:
Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate l'equazione diventa:
da cui:
ovvero nella forma più generale possibile:
Il cui bordo è quindi:
Esistenza del quadrato
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro.
Costruzione
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:
Voci correlate
- Quadrilatero
- Quadrato (algebra)
- Teorema delle intersezioni dimensionali
- Sezioni ipercubiche ortoassiali
Altri progetti
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- Wikizionario
- Wikimedia Commons
- Wikizionario contiene il lemma di dizionario «quadrato»
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul quadrato
Collegamenti esterni
- quadrato, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- Attilio Frajese, QUADRATO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.
- quadrato², su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- quadrato, su sapere.it, De Agostini.
- (EN) square, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Quadrato, su MathWorld, Wolfram Research.
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