Insieme limite

In matematica, l'insieme limite di una successione { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

ω ( x n ) = ⋂ n = 0 ∞ { x k : k > n } ¯ n ∈ N {\displaystyle \omega (x_{n})=\bigcap _{n=0}^{\infty }{\overline {\{x_{k}:k>n\}}}\qquad n\in \mathbb {N} }

dove { x k : k > n } ¯ {\displaystyle {\overline {\{x_{k}:k>n\}}}} è la chiusura di { x k : k > n } {\displaystyle \{x_{k}:k>n\}} .

Nello studio dei sistemi dinamici, un insieme limite di un'orbita ϕ ( t , x 0 ) {\displaystyle \phi (t,x_{0})} di un sistema dinamico per un punto iniziale x 0 {\displaystyle x_{0}} è l'insieme dei punti p {\displaystyle p} tali per cui esiste una successione di istanti temporali t k → ± ∞ {\displaystyle t_{k}\to \pm \infty } tale che ϕ ( t k , x 0 ) → p {\displaystyle \phi (t_{k},x_{0})\to p} per k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } .

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico; esempi particolarmente studiati sono gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discreti

Sia X {\displaystyle X} uno spazio metrico e sia f : X → X {\displaystyle f:X\rightarrow X} una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto. L'insieme ω {\displaystyle \omega } -limite di un punto x ∈ X {\displaystyle x\in X} , indicato con ω ( x , f ) {\displaystyle \omega (x,f)} , è l'insieme di tutti i punti di accumulazione della successione { f k ( x ) : k > n } {\displaystyle \{f^{k}(x):k>n\}} formata dalle orbite passanti per x {\displaystyle x} :

ω ( x , f ) = ⋂ n ∈ N { f k ( x ) : k > n } ¯ {\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}}}

In altri termini, y ∈ ω ( x , f ) {\displaystyle y\in \omega (x,f)} se e solo se c'è una successione strettamente crescente di numeri naturali { n k } k ∈ N {\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }} tale che f n k ( x ) → y {\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y} con k → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty } .

Se f {\displaystyle f} è un omeomorfismo si può definire in modo simile l'insieme α {\displaystyle \alpha } -limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

α ( x , f ) = ω ( x , f − 1 ) {\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}

Entrambi gli insiemi sono f {\displaystyle f} -invarianti e se X {\displaystyle X} è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

Sistemi dinamici continui

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

d x d t = f ( x ) x ∈ R n {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}}

sia x ( t ) = ϕ ( t , x 0 ) {\displaystyle x(t)=\phi (t,x_{0})} la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} , con γ ( x 0 ) {\displaystyle \gamma (x_{0})} la corrispondente orbita (l'immagine del flusso). Un punto x ′ {\displaystyle x'} è detto punto ω {\displaystyle \omega } -limite della soluzione ϕ ( t , x 0 ) {\displaystyle \phi (t,x_{0})} (punto ω {\displaystyle \omega } -limite dell'orbita γ ( x 0 ) {\displaystyle \gamma (x_{0})} ) se esiste una successione t 1 , … , t k , … {\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k},\dots } di istanti temporali tali che:[1]

ϕ ( t k , x 0 ) → x ′ k → ∞ {\displaystyle \phi (t_{k},x_{0})\to x'\qquad k\to \infty }
t k → + ∞ {\displaystyle t_{k}\to +\infty }

L'insieme ω {\displaystyle \omega } -limite di ϕ ( t , x 0 ) {\displaystyle \phi (t,x_{0})} è l'insieme di tutti i punti ω {\displaystyle \omega } -limite di ϕ ( t , x 0 ) {\displaystyle \phi (t,x_{0})} (di γ ( x 0 ) {\displaystyle \gamma (x_{0})} ).

L'insieme α {\displaystyle \alpha } -limite si definisce analogamente come l'insieme di tutti i punti α {\displaystyle \alpha } -limite della traiettoria ϕ ( t , x 0 ) {\displaystyle \phi (t,x_{0})} , cioè i punti tali che ϕ ( t k , x 0 ) → x ′ {\displaystyle \phi (t_{k},x_{0})\to x'} per t k → − ∞ {\displaystyle t_{k}\to -\infty } e k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } .

Note

  1. ^ Artem S. Novozhilov - Limit sets, Lyapunov functions.

Bibliografia

  • (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
  • (EN) A. Beck, Continuous flows in the plane , Springer (1974)
  • (EN) C. Gutierrez, Smoothing continuous flows on two-manifolds and recurrences Ergodic Theory and Dynam. Syst. , 6 (1986) pp. 17–44
  • (EN) O. Hajek, Dynamical systems in the plane , Acad. Press (1968)

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • insieme limite, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. Modifica su Wikidata
  • (EN) V.M. Millionshchikov, Limit point of a trajectory, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) V.M. Millionshchikov, Limit set of a trajectory, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) Andrei G. Sivak - On the Structure of Transitive ω-limit Sets for Continuous Maps (PDF), su ssd.udl.cat.
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