Daftar topik aljabar abstrak

Operasi dasar

Struktur aljabar didefinisikan terutama sebagai himpunan dengan operasi.

Struktur aljabar
- Subobjek : subgrup, subgelanggang, subaljabar, submodul dll.
Operasi biner
- Penutupan suatu operasi
- Sifat asosiatif
- Sifat distributif
- Sifat komutatif
Operator Unary
- Aditif invers, invers perkalian, elemen invers
  - Elemen identitas
  - Sifat pembatalan
Operasi finiter
- Ariti

Peta pelestarian struktur yang disebut homomorfisme sangat penting dalam studi objek aljabar.

Homomorfisme
- Kernel dan kokernel
- Citra dan kocitra
- Epimorfisma dan monomorfisme
  - Isomorfisme
    - Teorema Isomorfisme

Ada beberapa cara dasar untuk menggabungkan objek aljabar yang berjenis sama untuk menghasilkan objek ketiga yang berjenis sama. Konstruksi ini digunakan di seluruh aljabar.

Jumlah langsung
- Limit langsung
Produk langsung
- Limit invers
Objek hasil bagi: grup hasil bagi, gelanggang hasil bagi, modul hasil bagi dll.
Produk Tensor

Konsep lanjutan:

Teori kategori
Aljabar homologis
- Filtrasi (aljabar)
- Urutan persis
- Funktor
Lemma Zorn

Semigrup dan monoid

Semigrup
- Subsemigrup
- Semigrup bebas
- Relasi Green
- Semigrup invers (lih. [1])
- Teori Krohn–Rhodes
- Aljabar semigrup
- Transformasi semigrup
Monoid
- Monoid periodik
- Monoid bebas
- Monoid (teori kategori)
- Faktorisasi monoid
- Monoid sintaktik

Teori grup

Struktur

Grup (matematika)
- Teorema Lagrange (teori grup)
- Subgrup
  - Coset
  - Subgrup normal
  - Subgrup karakteristik
  - Subgrup Pemusat dan penormal
  - Grup turunan
  - Subgrup Frattini
  - Subgrup Fitting
- Klasifikasi grup sederhana hingga
- Teorema Sylow
- Analisis lokal

Konstruksi

Jenis

Contoh

Contoh grup

Aplikasi

Tindakan grup
- Kelas konjugasi
- Automorfisme batin
- Penutupan konjugasi
- Subgrup stabilisator
- Orbit (teori grup)
- Teorema penstabil orbit
- Teorema Cayley
- Lemma Burnside
Masalah Burnside
Grup lingkaran
Grup fundamental

Teori gelanggang

Umum

Gelanggang (matematika)
Aljabar komutatif, Gelanggang komutatif
Teori gelanggang, Gelanggang nonkomutatif
Aljabar medan
- Aljabar non-asosiatif
Kerabat dengan gelanggang: Semigelanggang, Gelanggang dekat, Rig (aljabar)

Struktur

Subgelanggang, Subaljabar
- Pusat (aljabar)
Gelanggang ideal
- Ideal pokok
- Hasil bagi yang ideal
- Ideal maksimal, ideal minimal
- Ideal primitif, ideal prima, ideal semiprima
- Radikal ideal
Radikal Jacobson
Socle gelanggang
Satuan (teori gelanggang), Idempotensi, Nilpoten, Pembagi nol
Karakteristik (aljabar)
Homomorfisme gelanggang, Homomorfisme aljabar
- Epimorfisme gelanggang
- Monomorfisme gelanggang
- Isomorfisme gelanggang
  - Teorema Skolem–Noether
Aljabar bertingkat
Kesetaraan Morita
- Grup Brauer

Konstruksi

Jumlah langsung gelanggang, Produk gelanggang
Gelanggang hasil bagi
Gelanggang matriks
Gelanggang endomorfisme
Gelanggang polinomial
Deret pangkat formal
Gelanggang monoid, Gelanggang grup
Pelokalan gelanggang
Tensor aljabar
- Aljabar simetris, Aljabar eksterior, Aljabar Clifford
Aljabar bebas
Penyelesaian (teori gelanggang)

Jenis

Bidang (matematika), Gelanggang pembagi, aljabar pembagi
Gelanggang sederhana, Aljabar sederhana pusat, Gelanggang setengah sederhana, Aljabar setengah sederhana
Gelanggang primitif, Gelanggang semi-primitif
Gelanggang prima, Gelanggang semiprima, Gelanggang tereduksi
Domain integral, Domain (teori gelanggang)
- Bidang pecahan, Penutupan integral
- Domain Euklides, Domain ideal utama, Domain faktorisasi unik, domain Dedekind, Prüfer domain
Gelanggang beraturan Von Neumann
Gelanggang Kuasi-Frobenius
Galanggang keturunan, Cincin setengah-derititer
Gelanggang lokal, Gelanggang semi-lokal
Gelanggang penilaian diskrit
Gelanggang lokal beraturan
Gelanggang Cohen-Macaulay
Gelanggang Gorenstein
Gelanggang Artinian, Gelanggang Noetherian
Dering sempurna, Gelanggang semisempurna
Gelanggang Baer, Gelanggang Rickart
Gelanggang Lie, Aljabar Lie
- Ideal (aljabar Lie)
Aljabar Yordania
Aljabar diferensial
Aljabar Banach

Contoh

Bilangan rasional, Bilangan riil, Bilangan kompleks, Kuarter, Oktonion
- Kuaternion Hurwitz
Bilangan bulat Gaussian

Teorema dan Aplikasi

Geometri aljabar
- Nullstellensatz Hilbert
Teorema basis Hilbert
Teorema Hopkins-Levitzki
Teorema ideal utama Krull
Teorema Levitzky
Teori Galois
- Teorema Abel–Ruffini
Teorema Artin-Wedderburn
Teorema kepadatan Jacobson
Teorema kecil Wedderburn
Teorema Lasker–Noether

Teori medan

Konsep dasar

Medan (matematika)
Submedan (matematika)
- Grup perkalian
  - Elemen primitif (teori medan)
Ekstensi medan
- Ekstensi aljabar
  - Bidang pemisah
  - Bidang tertutup aljabar
    - Elemen aljabar
    - Penutupan aljabar
- Ekstensi yang dapat dipisahkan
  - Polinomial terpisah
- Ekstensi normal
- Ekstensi Galois
- Ekstensi Abelian
- Derajat transendensi
Norma bidang
Jejak lapangan
Elemen konjugasi (teori medan)
Tensor produk medan

Jenis

Medan bilangan aljabar
Medan global
Medan lokal
Medan terbatas
Fungsi simetris
Secara formal bidang nyata
Medan tertutup riil

Aplikasi

Teori Galois
- Grup Galois
- Masalah Galois invers
Teori Kummer

Teori modul

Umum

Modul (matematika)
Bimodul
Anihilator (teori gelanggang)

Struktur

Submodul
- Submodul murni
Homomorfisme modul
- Submodul penting
- Submodul yang berlebihan
- Submodul tunggal
Socle modul
Radikal modul

Konstruksi

Modul gratis
Modul Hasil Bagi
Jumlah langsung, Produk langsung modul
Limit langsung, Limit invers
Pelokalan modul
Penyelesaian (teori gelanggang)

Jenis

Modul sederhana, Modul sederhana
Modul tidak dapat diuraikan
Modul Artinian, modul Noetherian
Jenis homologis:
- Modul projektif
  - Penutup projektif
  - Teorema Swan
  - Teorema Quillen–Suslin
- Modul injektif
  - Injektif hull
- Modul datar
  - Penutup datar
Modul koheren
Modul yang dihasilkan tak terbatas
Modul sempurna
Modul terkait terbatas
Modul ringkas secara aljabar
Modul refleksif

Konsep dan teorema

Deret komposisi
- Panjang modul
Teorema struktur untuk modul yang dibuat tanpa batas melalui domain ideal utama
Dimensi homologis
- Dimensi proyektif
- Dimensi injektif
- Dimensi datar
- Dimensi global
- Dimensi global yang lemah
- Dimensi kohomologis
Dimensi krull
Barisan beraturan (aljabar), kedalaman (aljabar)
Lemma Fitting
Lemma Schur
Lemma Nakayama
Teorema Krull–Schmidt
Lemma pertukaran Steinitz
Teorema Jordan–Hölder
Artin–Rees lemma
Lemma Schanuel
Kesetaraan Morita
- Progenerator

Teori wakilan

Teori waklian

Waklian aljabar
Wakilan grup
Wakilan aljabar Lie
Teorema Maschke
Lemma Schur
Peta ekuivarian
Timbal balik Frobenius
- Wakilan yang diinduksi
- Wakilan terbatas
Wakilan afin
Wakilan projektif
Teori wakilan modular
Gemetar (matematika)
Teori waklilan aljabar Hopf

Sistem non-asosiatif

Umum

Sifat asosiatif, Asosiator
Tumpukan (matematika)
Magma (aljabar)
- Gelung (aljabar), Kuasigrup
Gelanggang non-asosiatif, Aljabar non-asosiatif
- Aljabar menyampul universal
- Aljabar Lie (lihat pula daftar topik grup Lie dan daftar topik teori wakilan)
- Aljabar Yordania
- Aljabar alternatif
- Kekuatan asosiatif
- Aljabar fleksibel

Contoh

Konstruksi Cayley–Dickson
- Oktonion
- Sedenion
Kuaternion hiperbolik
Aljabar Virasoro

Umum

Struktur aljabar
Aljabar universal
- Variasi (aljabar universal)
- Hubungan kongruensi
- Objek bebas
- Himpunan pembangkit (aljabar universal)
- Klon (aljabar)
Kernel suatu fungsi
- Kernel (aljabar)
- Kelas isomorfisme
- Teorema Isomorfisme
- Teorema dasar tentang homomorfisme
Sifat universal
Filtrasi (matematika)
Teori kategori
- Kategori monoid
- Grupoid
- Objek grup
- Koaljabar
- Bialjabar
- Aljabar Hopf
- Objek magma
Torsi (aljabar)