Pemusat dan penormal

Dalam matematika, khususnya teori grup, pemusat (disebut juga komutan^[1][2]) dari subset S dari grup G adalah himpunan elemen G yang komutatif dengan setiap elemen S , dan penormal dari S adalah himpunan elemen yang memenuhi kondisi yang lebih lemah. Pemusat dan penormal dari S adalah subgrup dari G , dan dapat memberikan wawasan tentang struktur G .

Definisi juga berlaku untuk monoid dan semigrup.

Dalam teori cincin, pemusat himpunan bagian dari gelanggang didefinisikan sehubungan dengan operasi semigrup (perkalian) gelanggang. Pemusat dari bagian dari gelanggang R adalah subgelanggang dari R . Artikel ini juga membahas pemusat dan penormal di Aljabar Lie.

Idealizer dalam semigrup atau gelanggang adalah konstruksi lain yang sejajar dengan pemusat dan penormal.

Definisi

Grup dan semigroup

pemusat dari himpunan bagian S dari grup (atau semigroup) G didefinisikan sebagai^[3]

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Jika tidak ada ambiguitas tentang grup tersebut, G dapat dihilangkan dari notasi. Jika S = {a} adalah himpunan tunggal, dirumuskan denagn C_G(a) bukannya C_G({a}). Notasi lain yang kurang umum untuk pemusat adalah Z( a ), yang sejajar dengan notasi untuk pusat. Dengan notasi terakhir ini, seseorang harus berhati-hati untuk menghindari kebingungan antara pusat dari sebuah grup G, Z(G), dan pemusat dari elemen g in G, Z(g).

Penormal dari S dalam grup (atau semigrup) G didefinisikan sebagai

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.}$

Definisi tersebut serupa tetapi tidak identik. Jika g di centralizer dari S dan s ada di S , maka itu gs = sg, tapi jika g ada di penormal, maka gs = tg untuk beberapa t pada S , dengan t mungkin berbeda dari s . Artinya, elemen sentralisator S dengan S , tetapi elemen penormal S hanya perlu ngelaju dengan S sebagai satu himpunan . Ketentuan notasi yang sama yang disebutkan di atas untuk pemusat juga berlaku untuk penormal. Penormal tidak boleh bingung dengan penutupan normal.

Gelanggang, aljabar di atas bidang, gelanggang Lie, dan aljabar Lie

Jika R adalah gelanggang atau aljabar di atas bidang, dan S adalah himpunan bagian dari R , maka pemusat dari S persis seperti yang didefinisikan untuk grup, dengan R di tempat G .

Jika ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ is a aljabar Lie (atau gelanggang Lie) dengan produk Lie [ x , y ], lalu pemusat dari himpunan bagian S dari ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ didefinisikan sebagai^[4]

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Definisi pemusat untuk gelanggang Lie dikaitkan dengan definisi gelanggang dengan cara berikut. Jika R adalah cincin asosiatif, maka R dapat diberi produk braket [x,y] = xy − yx. Tentu xy = yx jika dan hanya jika [x,y] = 0. Jika kita menunjukkan himpunan R dengan produk braket sebagai L _R , maka jelaskan pemusat gelanggang dari S pada R sama dengan Pemusat gelanggang Lie dari S pada L_R.

Penormal dari subset S dari aljabar Lie (atau gelanggang Lie) ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ didefinisikan oleh^[4]

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Meskipun ini adalah penggunaan standar dari istilah "penormal" dalam aljabar Lie, konstruksi ini sebenarnya adalah pengidealisasi dari himpunan S pada ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$. Jika S adalah subgrup aditif dari ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, kemudian ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$ adalah subgelanggang Lie terbesar (atau subaljabar Lie, tergantung kasusnya) di mana S adalah Lie ideal.^[5]

Sifat

Semigrup

Misalkan ${\displaystyle S'}$ menunjukkan pemusat dari ${\displaystyle S}$ di semigroup ${\displaystyle A}$, yaitu ${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs\ {\mbox{for}}\ {\mbox{every}}\ s\in S\}.}$ Kemudian ${\displaystyle S'}$ membentuk subgrup dan ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$, yaitu komutan adalah dengan bikomutan.

Grup

Sumber:^[6]

• Pemusat dan penormal S keduanya merupakan subgrup dari G .
• Jelas, C_G(S) ⊆ N_G(S). Faktanya, C_G(S) merupakan subgrup normal dari N_G(S).
• C_G(C_G(S)) berisi S , tapi C_G(S) tidak perlu mengandung S . Penahanan terjadi tepat ketika S adalah abelian.
• Jika H adalah subgrup dari G , maka N_G(H) berisi H .
• Jika H adalah subgrup dari G , maka subgrup terbesar dari G di mana H normal adalah subgrup N_G(H).
• Jika S adalah himpunan bagian dari G sehingga semua elemen S saling berpindah-pindah, maka subgrup terbesar dari G yang pusatnya berisi S adalah subgrup C_G(S).
• Sebuah subgrup H dari sebuah grup G disebut subgrup yang menormalkan diri sendiri G if N_G(H) = H.
• Tepat di tengah G C_G(G) dan G adalah grup abelian jika dan hanya jika C_G(G) = Z(G) = G.
• Untuk himpunan tunggal, C_G(a) = N_G(a).
• Secara simetri, jika S dan T adalah dua himpunan bagian dari G , T ⊆ C_G(S) jika dan hanya jika S ⊆ C_G(T).
• Untuk subgrup H dari grup G, teorema N/C menyatakan bahwa grup faktor N_G(H)/C_G(H) adalah isomorfik menjadi subgrup dari Aut(H).

Lihat pula

• Komutator
• Teorema pemusat ganda
• Idealizer
• Pengganda dan pemusat (ruang Banach)
• Subgrup penstabil

Catatan

1. ^ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems Through the Weyr Form. Oxford University Press. hlm. 65. ISBN 978-0-19-979373-0. 
2. ^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups. European Mathematical Society. hlm. 30. ISBN 978-3-03719-032-6. 
3. ^ Jacobson (2009), p. 41
4. ^ ^{a b} Jacobson 1979, p.28.
5. ^ Jacobson 1979, p.57.
6. ^ Isaacs 2009, Chapters 1−3.

Referensi

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, 100 (edisi ke-reprint of the 1994 original), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, 1 (edisi ke-2), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (edisi ke-republication of the 1962 original), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927