Bilangan Fibonacci

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah sebuah bilangan yang di mana setiap bilangannya adalah jumlah dari dari dua bilangan sebelumnya. Bilangan yang merupakan bagian dari bilangan Fibonacci dikenal sebagai deret Fibonacci, biasanya dilambangkan F_n . Bilangannya biasanya dimulai dari 0 dan 1, meskipun beberapa penulis memulai urutannya dari 1 dan 1 atau kadang-kadang (seperti yang dilakukan Fibonacci) dari 1 dan 2. Dimulai dari 0 dan 1, bilangannya dimulai

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....^[1]

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

$F(n)={\begin{cases}0,&{\mbox{jika }}n=0;\\1,&{\mbox{jika }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{jika tidak.}}\end{cases}}$

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

F_{n}={\frac {{x_{1}}^{n}-{x_{2}}^{n}}{\sqrt {5}}}

dengan

$F_{n}$ adalah bilangan Fibonacci ke-n
$x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah penyelesaian persamaan $x^{2}-x-1=0$

Perbandingan antara $F_{n+1}$ dengan $F_{n}$ hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emas yang nilainya mendekati 1,618.

Definisi

Bilangan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan^[2]

F_{0}=0,\quad F_{1}=1,

dan

F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}

untuk n > 1.

Berdasarkan beberapa definisi lama, nilai $F_{0}=0$ dihilangkan, jadi bilangan tersebut dimulai dengan $F_{1}=F_{2}=1,$ dan perulangan $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ valid untuk n > 2.^[3]^[4]

20 bilangan F_n Fibonacci pertama adalah:^[5]

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181

Asal mula

Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan Fibonacci

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong.

Eropa

Bilangan Fibonacci pertama kali muncul pada buku Liber Abaci (The Book of Calculation, 1202) oleh Fibonacci^[6]^[7] yang di mana digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi kelinci.^[8]^[9] Fibonacci mempertimbangkan pertumbuhan populasi kelinci yang ideal (secara biologis tidak realistis), berasumsi bahwa: seekor sepasang kelinci yang baru lahir diternakkan di ladang; setiap pasangan kawin pada umur satu bulan, dan pada akhir bulan kedua selalu menghasilkan sepasang kelinci lagi; dan kelinci tidak akan mati, tetapi terus berkembang biak selamanya. Fibonacci mengajukan teka-teki: berapa banyak pasangan yang akan ada dalam satu tahun?

Pada akhir di bulan pertama, mereka kawin, tapi masih ada 1 pasangan saja.
Pada akhir bulan kedua mereka menghasilkan pasangan baru, jadi ada 2 pasangan di lapangan.
Pada akhir bulan ketiga, pasangan awal menghasilkan pasangan kedua, tapi pasangan kedua hanya kawin selama sebulan, jadi totalnya ada 3 pasangan.
Pada akhir bulan keempat, pasangan asli telah menghasilkan pasangan baru lagi, dan pasangan yang lahir dua bulan lalu juga menghasilkan pasangan pertamanya, sehingga menjadi 5 pasangan.

Pada akhir bulan ke-n, jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasangan dewasa (yaitu jumlah pasangan dalam bulan n – 2) ditambah jumlah dari pasangan yang hidup bulan lalu (bulan n – 1). Jumlah pada n-th bulan adalah bilangan Fibonacci ke-n.^[10]

Nama "Deret Fibonacci" pertama kali digunakan oleh ahli teori bilangan abad ke-19 Édouard Lucas.^[11]

Relasi terhadap rasio emas

Artikel utama untuk kategori ini adalah Rasio emas.

Identifikasi

Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif x adalah sebuah bilangan Fibonacci jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari $5x^{2}+4$ atau $5x^{2}-4$ adalah persegi sempurna.^[12] Hal ini karena rumus Binet yang dapat dituliskan sebagai $F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}$ , dapat dikalikan dengan ${\sqrt {5}}\varphi ^{n}$ dan diselesaikan sebagai persamaan kuadrat di $\varphi ^{n}$ melalui rumus kuadrat:

\varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.

Membandingkan ini dengan

\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2

, itu mengikuti bahwa

5{F_{n}}^{2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.

Khususnya, sisi kiri adalah persegi sempurna.

Identitas lain

Banyak bentuk lain yang dapat diperoleh dengan menggunakan berbagai metode. Inilah beberapa di antaranya:^[13]

Identitas Cassini dan Catalan

Identitas Cassini menyatakan bahwa

{F_{n}}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}

Identitas Catalan adalah generalisasi:

{F_{n}}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}{F_{r}}^{2}

Identitas d'Ocagne

F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}

F_{2n}={F_{n+1}}^{2}-{F_{n-1}}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}

di mana L_n adalah bilangan ke-n dari bilangan Lucas. Yang terakhir adalah bentuk untuk penggandaan n; identitas lain dari jenis ini adalah

F_{3n}=2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}

oleh bentuk Cassini.

F_{3n+1}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}{F_{n}}^{2}-{F_{n}}^{3}

F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3{F_{n+1}}^{2}F_{n}+{F_{n}}^{3}

F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left({F_{n+1}}^{2}+2{F_{n}}^{2}\right)-3{F_{n}}^{2}\left({F_{n}}^{2}+2{F_{n+1}}^{2}\right)

Ini dapat ditemukan secara eksperimental menggunakan lattice reduction, dan berguna dalam menyiapkan special number field sieve ke bilangan Fibonacci terfaktorisasi.

Lebih umumnya,^[13]

F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}{F_{n}}^{i}{F_{n+1}}^{k-i}.

atau sebagai alternatif

F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.

Menempatkan k = 2 dalam rumus ini, kita mendapatkan lagi rumus akhir dari bagian atas Bentuk Matriks.

Referensi

Catatan kaki penjelas

Kutipan

^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A000045 (Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Lucas 1891, hlm. 3.
^ Beck & Geoghegan 2010.
^ Bóna 2011, hlm. 180.
^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama oeis
^ Sigler 2002, hlm. 404–405.
^ "Fibonacci's Liber Abaci (Book of Calculation)", The University of Utah, 13 December 2009, diakses tanggal 28 November 2018
^ Hemenway, Priya (2005), Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science, New York: Sterling, hlm. 20–21, ISBN 1-4027-3522-7
^ Knott, Ron (25 September 2016), "The Fibonacci Numbers and Golden section in Nature – 1", University of Surrey, diakses tanggal 27 November 2018
^ Knott, Ron, Fibonacci's Rabbits, University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences
^ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus, The Mathematical Association of America, hlm. 153, ISBN 978-0-88385-506-5, It is ironic that Leonardo, who made valuable contributions to mathematics, is remembered today mainly because a 19th-century French number theorist, Édouard Lucas... attached the name Fibonacci to a number sequence that appears in a trivial problem in Liber abaci
^ Gessel, Ira (October 1972), "Fibonacci is a Square" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 10 (4): 417–19, diakses tanggal April 11, 2012
^ ^a ^b (Inggris) Weisstein, Eric W., "Fibonacci Number", MathWorld

Kutipan ilmiah

Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (edisi ke-3rd), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (July 1998), Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, hlm. 91–101, ISBN 978-0-471-31515-5
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario (2003) [2002], The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (edisi ke-First trade paperback), New York City: Broadway Books, ISBN 0-7679-0816-3
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (dalam bahasa Prancis), 1, Paris: Gauthier-Villars .
Sigler, L. E. (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Lihat pula

Program bilangan Fibonacci
Tabel 500 bilangan Fibonacci pertama

Pranala luar

The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
The Golden Section: Phi Diarsipkan 2006-12-05 di Wayback Machine.
Menghitung bilangan Fibonacci pada Mesin Turing Diarsipkan 2005-02-06 di Wayback Machine.
Hemachandra's application to Sanskrit poetry Diarsipkan 2012-07-16 di Wayback Machine.
Deret Fibonacci Diarsipkan 2005-01-22 di Wayback Machine.
Representasi Bilangan Bulat menggunakan bilangan Fibonacci Diarsipkan 2007-10-30 di Wayback Machine.

Barisan dan deret

Barisan
bilangan bulat

Dasar	Barisan dan deret aritmetika Barisan dan deret geometri Barisan harmonik Bilangan persegi Bilangan kubik Faktorial Perpangkatan bilangan dua Perpangkatan bilangan tiga Perpangkatan bilangan 10
Lanjutan (daftar)	Barisan lengkap Bilangan Fibonacci Bilangan figurasi Bilangan heptagonal Bilangan heksagonal Bilangan Lucas Bilangan Pell Bilangan pentagonal Bilangan poligonal Bilangan segitiga

Sifat-sifat barisan

Barisan Cauchy
Barisan monoton
Barisan periodik

Sifat-sifat deret

Deret	Selang-seling Konvergen Divergen Teleskopik
Konvergensi	Mutlak Bersyarat Seragam

Deret eksplisit

konvergen	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2^s+ 1/3^s + ... (Fungsi zeta Riemann)
Divergen	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi) Deret aritmetika tak terbatas 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)