Nombre tétraédrique

En arithmétique géométrique, un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté graphiquement par une pyramide de base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire. Pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ non nul, le n-ième nombre pyramidal triangulaire, somme des ${\displaystyle n}$ premiers nombres triangulaires, est donné par les formules ^[1] :

${\displaystyle P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={n+2 \choose 3},}$

où ${\displaystyle {i \choose j}}$ est le symbole du coefficient binomial. Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal.

Les dix premiers^[2] sont 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220.

Le 22^e est 2024.

Démonstration de la formule

Comme le k-ième nombre triangulaire est égal à ${\displaystyle {k(k+1) \over 2}={\binom {k+1}{2}}}$, on a, d'après la formule d'itération de Pascal :

${\displaystyle P_{n}^{(3)}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {k+1}{2}}=\sum _{k=2}^{n+1}{\binom {k}{2}}={n+2 \choose 3}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$.

Ceci est en fait un cas particulier de la construction des nombres simpliciaux ; Le nombre tétraédrique ${\displaystyle P_{n}^{(3)}}$ est le n-ième nombre 3-simplicial ${\displaystyle S_{3}(n)}$.

On peut aussi obtenir ${\displaystyle P_{n}^{(3)}}$ à partir de la formule générale des nombres polyédriques réguliers ${\displaystyle P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {d(k-2)^{2}(d-2)}{2D}}n^{2}+{\frac {d(k-2)}{2}}n+1}$ où ${\displaystyle k=d=3,D=2(k+d)-kd=3}$, qui donne ${\displaystyle P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$, puis ${\displaystyle P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$.

Propriétés

La suite d'entiers ${\displaystyle (P_{n}^{(3)})}$, réduite modulo 2, est de période 4.

Les seuls nombres tétraédriques carrés sont^[1],[3] P₁⁽³⁾ = 1 = 1², P₂⁽³⁾ = 4 = 2² et P₄₈⁽³⁾ = 19 600 = 140².

Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré est^[1],[4] 1.

Notes et références

Articles connexes

• Conjectures de Pollock
• Empilement compact

• Arithmétique et théorie des nombres