Groupe de Heisenberg

En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :

${\displaystyle H_{3}(A)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}~\right|~a,b,c\in A\right\}.}$

Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$, lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique.

Le « groupe de Heisenberg discret » ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ correspond à l'anneau ℤ des entiers.

Le groupe de Heisenberg ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$, où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini F_p = ℤ/pℤ. C'est un p-groupe fini, d'ordre p³.

Structure de groupe

${\displaystyle H_{3}(A)}$ est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).

La loi sur A³ induite par la bijection

${\displaystyle A^{3}\to H_{3}(A),\quad (a,b,c)\mapsto {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

est :

${\displaystyle (a,b,c)(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').}$

C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).

Par construction, A³ muni de cette loi est un groupe isomorphe à ${\displaystyle H_{3}(A)}$, dans lequel :

• les puissances n-ièmes sont données par ${\displaystyle (a,b,c)^{n}=\left(na,nb,nc+{\frac {n(n-1)}{2}}ab\right)}$,
• le symétrique de ${\displaystyle (a,b,c)}$ est ${\displaystyle (-a,-b,-c+ab)}$, donc
• le commutateur ${\displaystyle \left[x,y\right]:=xyx^{-1}y^{-1}}$ de ${\displaystyle x:=(a,b,c)}$ et ${\displaystyle y:=(a',b',c')}$ est ${\displaystyle (0,0,ab'-ba')}$, donc
• le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.

Le groupe ${\displaystyle H_{3}(A)}$ est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).

Groupe de Heisenberg continu

${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ en est un réseau.

Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique ${\displaystyle (V,\omega )}$ (${\displaystyle \omega }$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur ${\displaystyle V}$). Le groupe de Heisenberg ${\displaystyle H(V)}$ est l'espace topologique produit ${\displaystyle V\times \mathbb {R} }$, muni de la loi de groupe :

${\displaystyle (v_{1},t_{1})*(v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\tfrac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).}$

Le groupe ${\displaystyle H(V)}$ est une extension du groupe additif de ${\displaystyle V}$. L'algèbre de Lie de ${\displaystyle H(V)}$ est l'espace vectoriel ${\displaystyle h(V)=V\oplus \mathbb {R} }$, muni du crochet de Lie

${\displaystyle [(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})]=(0,\omega (v_{1},v_{2})).}$

Groupe de Heisenberg discret

Le groupe ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$, identifié à ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$ muni de la loi ci-dessus, est engendré par ${\displaystyle x:=(1,0,0)}$ et ${\displaystyle y:=(0,1,0)}$. En faisant intervenir leur commutateur ${\displaystyle z:=\left[x,y\right]=(0,0,1)}$, on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs ${\displaystyle x,y,z}$ et trois relations : ${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}}$, ${\displaystyle xz=zx}$ et ${\displaystyle yz=zy}$.

D'après le théorème de Bass, ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.

Groupe de Heisenberg sur F_p

D'après sa structure (voir supra) :

• ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$ a un centre d'ordre p et son quotient par ce centre est un p-groupe abélien élémentaire (en) (isomorphe à (ℤ/pℤ)×(ℤ/pℤ)) : on dit que ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$ est un p-groupe extra-spécial (en) ;
• ce quotient est aussi l'abélianisé de ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$.

Cas p premier impair

Le groupe ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$ est le quotient de ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \ltimes (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )}$ par le sous-groupe normal ${\displaystyle p\mathbb {Z} \ltimes (p\mathbb {Z} \times p\mathbb {Z} )}$. Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p-ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$ (déduite de celle de ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs ${\displaystyle x,y,z}$ et les relations : ${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}}$, ${\displaystyle xz=zx}$, ${\displaystyle yz=zy}$ et ${\displaystyle x^{p}=y^{p}=z^{p}=1}$.

L'exposant de ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$ est p.

Cas p = 2

Le groupe ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{2})}$ est isomorphe au groupe diédral D₈. En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images ${\displaystyle {\overline {x}},{\overline {y}}}$ des générateurs ${\displaystyle x,y}$ de ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$, ou encore par ${\displaystyle \sigma :={\overline {x}}}$, d'ordre 2 et ${\displaystyle \tau :={\overline {x}}{\overline {y}}}$, d'ordre 4, qui vérifient ${\displaystyle \sigma \tau \sigma ^{-1}=\tau ^{-1}.}$

Voir aussi

Lien externe

(en) Keith Conrad, « Groups of order p³ »

Bibliographie

(en) Daniel K. Biss et Samit Dasgupta, « A presentation for the unipotent group over rings with identity », Journal of Algebra, vol. 237, n^o 2,‎ 2001, p. 691-707 (DOI 10.1006/jabr.2000.8604)

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