Centre d'un groupe

En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres.

Définition

Soit G un groupe, noté multiplicativement. Son centre Z_G est

${\displaystyle Z_{G}=\left\{z\in G\mid \forall g\in G\quad gz=zg\right\}}$.

Propriétés

• Dans G, Z_G est un sous-groupe normal — comme noyau du morphisme de groupes ι ci-dessous — et même un sous-groupe caractéristique.
• Tout sous-groupe de Z_G est sous-groupe normal de G.
• Z_G est abélien.

Exemples

• Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire : Z_G = G.
• Le centre du groupe alterné A_n est trivial pour n ≥ 4.
• Le centre du groupe linéaire GL_n(R) est le sous-groupe des matrices scalaires non nulles, pour tout anneau commutatif R.

Application

L'action par conjugaison de G sur lui-même est le morphisme de G dans le groupe des automorphismes de G ${\displaystyle \iota :G\to Aut(G),\,g\mapsto \iota _{g},}$

où ι_g est l'automorphisme intérieur défini par ${\displaystyle \iota _{g}:G\to G,h\mapsto ghg^{-1}.}$

Son noyau et son image sont

${\displaystyle \ker(\iota )=Z_{G}\quad {\text{ et }}{\mbox{im}}(\iota )={\mbox{Int}}(G).}$

Le sous-groupe Int(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

${\displaystyle G/Z_{G}\simeq {\mbox{Int}}(G).}$

Articles connexes

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