Freie Lie-Algebra

In der mathematischen Theorie der Lie-Algebren ist eine freie Lie-Algebra bzw. frei erzeugte Lie-Algebra eine Lie-Algebra, die frei in der Kategorie der Lie-Algebren und Lie-Homomorphismen ist. Damit lassen sich Lie-Algebren mit vorgegebenen Erzeugern und Relationen konstruieren.

Definition

Wir betrachten einen festen Körper ${\displaystyle K}$ als Koeffizientenbereich. Zu einer vorgegebenen Menge ${\displaystyle X\not =\emptyset }$ sei ${\displaystyle A(X)}$ die frei erzeugte assoziative K-Algebra über ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle i\colon X\rightarrow A(X)}$ sei die Inklusionsabbildung. Durch die Lie-Klammer

${\displaystyle [a,b]:=a\cdot b-b\cdot a,\quad a,b\in A(X)}$

wird ${\displaystyle A(X)}$ zu einer Lie-Algebra. Darin sei

${\displaystyle FL(X):=\bigcap \{L|L\subset A(X){\text{ ist Lie-Unteralgebra mit }}i(X)\subset L\}}$

der Durchschnitt aller ${\displaystyle i(X)}$ enthaltenden Lie-Unteralgebren von ${\displaystyle A(X)}$. Dies ist nicht der Durchschnitt über eine leere Menge, denn ${\displaystyle A(X)}$ ist eine Lie-Unteralgebra, die ${\displaystyle i(X)}$ enthält.

${\displaystyle FL(X)}$ heißt freie Lie-Algebra über ${\displaystyle X}$.^[1]

Nach Konstruktion ist ${\displaystyle i(X)\subset FL(X)}$, das heißt wir können ${\displaystyle i}$ auch als Inklusionsabbildung ${\displaystyle X\rightarrow FL(X)}$ auffassen.

Universelle Eigenschaft

Die freie Lie-Algebra ${\displaystyle FL(X)}$ über ${\displaystyle X}$ erfüllt folgende universelle Eigenschaft:

Sei ${\displaystyle \theta \colon X\rightarrow L}$ eine Abbildung von ${\displaystyle X}$ in eine Lie-Algebra ${\displaystyle L}$. Dann gibt es genau einen Lie-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon FL(X)\rightarrow L}$ mit ${\displaystyle \varphi \circ i=\theta }$.^[2]

Dies rechtfertigt die Bezeichnung freie Lie-Algebra.

Alternative Konstruktion

Bei Bourbaki findet sich eine alternative Konstruktion der freien Lie-Algebra. Für eine nicht-leere Menge ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle M(X)}$ das freie Magma über ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle \mathrm {Lib} (X)}$ der frei über ${\displaystyle M(X)}$ erzeugte ${\displaystyle K}$-Vektorraum mit der linear von ${\displaystyle M(X)}$ fortgesetzten Multiplikation. Darin betrachte das Ideal ${\displaystyle I\subset \mathrm {Lib} (X)}$, das von allen Ausdrücken der Form

${\displaystyle a\cdot a,\quad a\in \mathrm {Lib} (X)}$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)+b\cdot (c\cdot a)+c\cdot (a\cdot b),\quad a,b,c\in \mathrm {Lib} (X)}$

erzeugt wird. Dann heißt ${\displaystyle \mathrm {Lib} (X)/I}$ die frei über ${\displaystyle X}$ erzeugte Lie-Algebra.^[3] Durch den Übergang zur Quotientenalgebra werden die aufgezählten Elemente zum Nullelement, denn sie liegen ja definitionsgemäß im Ideal ${\displaystyle I}$. Daher gelten in ${\displaystyle \mathrm {Lib} (X)/I}$ die Antikommutativität und Jacobi-Identität, das heißt man erhält eine Lie-Algebra. Von dieser wird gezeigt, dass sie obige universelle Eigenschaft erfüllt.^[4] Da je zwei Lie-Algebren, die dieselbe universelle Eigenschaft in Bezug auf ${\displaystyle X}$ erfüllen, isomorph sein müssen, kann diese Konstruktion als Alternative zur oben angegebenen betrachtet werden.

Beispiele

Ist ${\displaystyle X=\{x\}}$ einelementig, so ist ${\displaystyle A(\{x\})}$ isomorph zur kommutativen Polynomalgebra aller Polynome in der Unbestimmten ${\displaystyle x}$. Als Lie-Algebra ist ${\displaystyle A(\{x\})}$ daher abelsch, das heißt jeder Untervektorraum ist eine Lie-Unteralgebra. Damit ist ${\displaystyle FL(\{x\})}$ definitionsgemäß der kleinste Untervektorraum, der ${\displaystyle i(x)}$ enthält, und das ist ${\displaystyle K\cdot i(x)}$. Also ist

${\displaystyle FL(\{x\})\cong K}$ die triviale eindimensionale Lie-Algebra.^[5]

Die universelle einhüllende Algebra der freien Lie-Algebra ${\displaystyle FL(X)}$ ist isomorph zur freien assoziativen Algebra über ${\displaystyle X}$, in Formeln ${\displaystyle {\mathcal {U}}(FL(X))\cong A(X)}$.^[6]

Erzeuger und Relationen

Konstruktion

Sei wieder ${\displaystyle X}$ eine nicht-leere Menge. Ein Lie-Wort über ${\displaystyle X}$ ist eine endliche Linearkombination von endlichen Lie-Monomen, das heißt endlichen Lie-Produkten von Elementen aus ${\displaystyle X}$. Ein Beispiel für ein Lie-Monom ist

${\displaystyle [[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X}$,

ein Beispiel für ein Lie-Wort ist

${\displaystyle 7\cdot [[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]]-[[[[x_{1},x_{1}],x_{1}],x_{1}],x_{2}],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X}$.

Für eine Menge ${\displaystyle R}$ von Lie-Wörtern über ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle \langle R\rangle \subset FL(X)}$ das von ${\displaystyle R\subset FL(X)}$ erzeugte Lie-Ideal. Dann heißt die Quotientenalgebra

${\displaystyle L(X;R):=FL(X)/\langle R\rangle }$

die von der Menge ${\displaystyle X}$ und den Relationen ${\displaystyle R}$ erzeugte Lie-Algebra.

Wie bei der in der Gruppentheorie betrachteten Präsentation einer Gruppe kann man auch hier Lie-Algebren mit vorgegebenen Eigenschaften konstruieren, genauer wird jedes Lie-Wort ${\displaystyle w}$ zu einer Gleichung ${\displaystyle w=0}$ in ${\displaystyle L(X;R)}$.

Beispiele

• ${\displaystyle L(X;\emptyset )=FL(X)}$, denn das von der leeren Menge erzeugte Ideal ist ${\displaystyle \{0\}}$.

• Sei ${\displaystyle R}$ die Menge aller Lie-Wörter ${\displaystyle [x_{1},x_{2}],\,x_{1},x_{2}\in X}$. Dann ist ${\displaystyle L(X;R)}$ die von ${\displaystyle X}$ erzeugte abelsche Lie-Algebra, das heißt der von ${\displaystyle X}$ frei erzeugte K-Vektorraum mit der Nullmultiplikation als Lie-Klammer.

• Es seien ${\displaystyle X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$ und ${\displaystyle A_{i,j}}$ gewisse reelle Konstanten, die bei verschiedenen Indizes kleiner gleich 0 sind.

Es sei dann ${\displaystyle R}$ die Menge der Relationen

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}$

${\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{j}]}$   für   ${\displaystyle i\not =j}$

${\displaystyle [e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]}$   mit ${\displaystyle i\not =j}$ und ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ Vorkommen von ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle [f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]}$   mit ${\displaystyle i\not =j}$ und ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ Vorkommen von ${\displaystyle f_{i}}$

Dann spielt die Lie-Algebra ${\displaystyle L(X;R)}$ eine wichtige Rolle im Beweis des Existenzsatzes für halbeinfache Lie-Algebren. Sind die ${\displaystyle A_{i,j}}$ die Koeffizienten einer Cartan-Matrix, so ist ${\displaystyle L(X;R)}$ eine endlich-dimensionale Lie-Algebra mit ebendieser Cartan-Matrix. Das ist Serre’s Beweis des Existenzsatzes.^[7][8] Genau diese Techniken werden auch für die Definition von Kac-Moody-Algebren verwendet.^[9]

Einzelnachweise

1. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 9.3: Free Lie algebras
2. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 9.9
3. ↑ N. Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3, Springer Verlag (1989), ISBN 3-540-64242-0, Kapitel II, §2.2: Construction of the free Lie algebra
4. ↑ N. Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3, Springer Verlag (1989), ISBN 3-540-64242-0, Kapitel II, §2.2, Satz1
5. ↑ N. Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3, Springer Verlag (1989), ISBN 3-540-64242-0, Kapitel II, §2.2, Bemerkung auf Seite 123
6. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 9.10
7. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Beispiel 9.12
8. ↑ James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 18.3: Serre’s Theorem
9. ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 14: Generalized Cartan matrices and Kac-Moody algebras