Pětiúhelník

Pravidelný pětiúhelník
Základní informace
Obsah S = 25 + 10 5 4 a 2 {\displaystyle S={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}a^{2}}
Poloměr kružnice
opsané		 r = 50 + 10 5 10 a {\displaystyle r={\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{10}}a}
Poloměr kružnice
vepsané		 ρ = 25 + 10 5 10 a {\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{10}}a}
Úhel u vrcholu108°
Délka nejdelší
úhlopříčky		 l u = 5 + 1 2 a {\displaystyle l_{u}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}a} (zlatý řez)

Pětiúhelník (pentagon) je rovinný obrazec, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

Pravidelný pětiúhelník je v podstatě složen z pěti shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost 3 π 10 {\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}} a při vrcholu 2 π 5 {\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}} .

Vlastnosti

Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru

1 : ( 1 − 5 − 1 2 ) = 1 : 3 − 5 2 = 3 + 5 2 {\displaystyle 1:(1-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})=1:{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}} .

Obsah S pravidelného pětiúhelníku o délce strany a je:

S = 25 + 10 5 4 ⋅ a 2 = 5 ( 5 + 2 5 ) 4 ⋅ a 2 = 5 a 2 tan ⁡ 54 ∘ 4 ≈ 1.720   a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{4}}\cdot a^{2}={\frac {5a^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\approx 1.720~a^{2}\end{aligned}}}

Historie

Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.

Konstrukce

Pentagon je jední z mála pravidelných mnohoúhelníků (s lichým počtem stran), který lze sestrojit euklidovsky, tzn. jen kružítkem a pravítkem.

Postup konstrukce pravidelného pětiúhelníku

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku byla známa již ve starověkém Řecku.

Pětiúhelník v soustavě souřadnic

Zapíšeme-li pravidelný pětiúhelník do souřadnicové soustavy, kladouce střed kružnice opsané do bodu S {\displaystyle S}  [ x 0 {\displaystyle x_{0}} ; y 0 {\displaystyle y_{0}} ], obdržíme při poloměru kružnice opsané k {\displaystyle k} a natočení vrcholu nejbližšího ose x {\displaystyle x} v jejím kladném směru o úhel ω {\displaystyle \omega } oproti této ose následující souřadnice vrcholů:

x y
X 1 {\displaystyle X_{1}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ω {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos \omega \,\!} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ω {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin \omega \,\!}
X 2 {\displaystyle X_{2}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + 2 π 5 ) {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + 2 π 5 ) {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {2\pi }{5}})\,\!}
X 3 {\displaystyle X_{3}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + 4 π 5 ) {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + 4 π 5 ) {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {4\pi }{5}})\,\!}
X 4 {\displaystyle X_{4}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + 6 π 5 ) {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + 6 π 5 ) {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {6\pi }{5}})\,\!}
X 5 {\displaystyle X_{5}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + 8 π 5 ) {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + 8 π 5 ) {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {8\pi }{5}})\,\!}

Body vnitřního pětiúhelníku mají následující souřadnice:

x y
Y 1 {\displaystyle Y_{1}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}
Y 2 {\displaystyle Y_{2}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + 3 π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + 3 π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {3\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}
Y 3 {\displaystyle Y_{3}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + π ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + π ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +\pi )\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}
Y 4 {\displaystyle Y_{4}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + 7 π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + 7 π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {7\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}
Y 5 {\displaystyle Y_{5}} x 0 + k ⋅ cos ⁡ ( ω + 9 π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle x_{0}+k\cdot \cos(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}} y 0 + k ⋅ sin ⁡ ( ω + 9 π 5 ) ⋅ 3 − 5 2 {\displaystyle y_{0}+k\cdot \sin(\omega +{\frac {9\pi }{5}})\cdot {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}

Související články

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu pětiúhelník na Wikimedia Commons
  • Slovníkové heslo pětiúhelník ve Wikislovníku
  • Encyklopedické heslo Pětiúhelník v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
  • Nová pětiúhelníková dlaždice unikala vědcům více než stovku let
Pahýl
Pahýl
 Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.
Autoritní data Editovat na Wikidatech