Osmnáctiúhelník

Osmnáctiúhleník, cizím slovem octadecagon či octakaidecagon (z řec. δεκαοχτώ, dekaochtó – osmnáct, a γωνία, gonia – úhel), je mnohoúhelník s osmnácti stranami a vrcholy.

Popis pravidelného osmnáctiúhelníku

Součet středových úhlů pravidelného osmanáctiúhleníku je 360°, jeden středový úhel je tedy ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{18}}=20^{\circ }}$, což je i hodnota každého vnějšího úhlu.

Jeden vnitřní úhel je ${\displaystyle 180^{\circ }-20^{\circ }}$, součet všech vnitřních úhlů je tedy ${\displaystyle 160^{\circ }\cdot 18=2880^{\circ }}$.

Je-li α délka strany, pak:

• obvod: ${\displaystyle P=18\,a}$
• obsah: ${\displaystyle A={\frac {18}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{18}}\right)}$

  

• minimální poloměr: ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{18}}\right)}$
• maximální poloměr: ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{18}}\right)}}}$

Rýsování

Pravidelný osmnáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla (${\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}$).

Osmnáct je dělitelné devíti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z  ${\displaystyle 20^{\circ }}$ na ${\displaystyle 19,99953^{\circ }}$, odchylka tedy ${\displaystyle 0,00047^{\circ }}$ a celkově ${\displaystyle 0,00846^{\circ }}$) jej však lze zkonstruovat v 19 krocích:

1. Utvoříme přímku p.
2. Narýsujeme kružnici k se středem I, jež se nalézá na přímce p.
3. Vytvoříme kružnici l se středem v pravém průsečíku kružnice k a přímky p ${\displaystyle J=k\cap p}$, jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k.
4. Vytvoříme kružnici m se středem v levém průsečíku kružnice k a přímky p ${\displaystyle K=k\cap p}$, jejíž poloměr je shodný s průměrem kružnice k.
5. Narýsujeme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m ${\displaystyle L=l\cap m}$ a ${\displaystyle M=l\cap m}$.
6. Narýsujeme kružnici n, jejíž střed se nachází v průsečíku kružnice k a přímky q ${\displaystyle N=k\cap q}$, jejíž průměr je shodný s průměrem kružnice k.
7. Narýsujeme přímku r, jež protíná průsečíky kružnice k s kružnicí n ${\displaystyle O=k\cap n}$ a ${\displaystyle P=k\cap n}$ a je kolmá na přímku p.
8. Zkonstruujeme kružnici o, jejímž středem je průsečík J a jejíž průměr je totožný s průměrem kružnice k.
9. Narýsujeme přímku s, jež je kolmá na průsečík J.
10. Utvoříme kružnici p, která má střed v průsečíku N a průměr totožný s poloměrem kružnice k.
11. Sestrojíme kružnici q, jejíž střed leží v průsečíku kružnice o a přímky s ${\displaystyle R=o\cap s}$ a jejíž průměr je stejný jako poloměr kružnice k.
12. Narýsujeme přímku t, jež je kolmá na přímku q v horním průsečíku kružnice p a přímky q ${\displaystyle S=p\cap q}$. Zároveň ji lze popsat jako přímku, jež protíná průsečík S a horní průsečík přímky s a kružnice p.
13. Narýsujeme přímku u, která protíná bod I a průsečík kružnice n a přímky s ${\displaystyle T=n\cap s}$.
14. Sestrojíme kružnici r, která má střed v průsečíku J a prochází průsečíkem přímky u a kružnice k ${\displaystyle U=s\cap k}$.
15. Vytvoříme přímku v, která prochází oběma průsečíky kružnice r s kružnicí k a je tak kolmá na přímku p.
16. Zkonstruujeme přímku w, která prochází bodem I a průsečíkem přímky r a v ${\displaystyle V=r\cap v}$.
17. Narýsujeme přímku x, která prochází průsečíkem J a průsečíkem přímky w a t ${\displaystyle W=w\cap t}$.
18. Sestrojíme přímku y, jež prochází bodem I a průsečíkem přímek r a x ${\displaystyle X=r\cap x}$.
19. Přímky p a y svírají úhel α. Vezmeme do kružítka vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k ${\displaystyle Y=p\cap k}$ a ${\displaystyle Z=y\cap k}$ a po obvodu kružnice k si uděláme značky, jež následně spojíme.

Při tomto rýsování vytvoříme množství kružnic, průsečíků a přímek. Zde je jejich přehled:

• Kružnice: k, l, m, n, o, p, q, r
• Průsečíky a body: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, Y, Z
• Přímky: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y

Zajímavosti

Trojúhelník R_A-Q_A-C_B

Zajímavostí je, že pokud k sobě přitiskneme pravidelný osmnáctiúhelník Α a pravidelný devítiúhelník Β (se stejně dlouhými stranami) body A_A a A_B a R_A a B_B a spojíme úsečkou body Q_A a C_B (vrcholu se pojmenovávají proti směru hodinových ručiček), pak vznikne pravidelný rovnostranný trojúhelník R_A-Q_A-C_B.

Součet vnějšího úhlu A a vnějšího úhlu B musí být 60° (vnitřní úhel pravidelného trojúhelníku). Vnější úhel α je 20°, vnější úhel β tedy musí být ${\displaystyle \beta =60^{\circ }-20^{\circ }=40^{\circ }}$. Dává to smysl, neboť osmnáctiúhelník má dvakrát více vrcholů a stran než devítiúhelník.

Osmnáctiúhelníková síť

S pomocí osmnáctiúhelníků, devítiúhelníků, kosočtverců a trojúhelníků v poměru 1:2:8:2 lze sestrojit vzor opakujících se geometrických útvarů. Zde se uplatní předešlý popsaný jev.

Osmnáctiúhelník vyplněný kosočtverci

Pravidelný osmnáctiúhelník lze několika způsoby vyplnit různě velkými kosočtverci, které však obvykle mají stejnou délku strany a často jich je 36, od každého druhu devět.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Octadécagone na francouzské Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Osmnáctiúhelník na Wikimedia Commons