Elementární matice

V lineární algebře se elementární maticí nazývá čtvercová matice, která vznikne z jednotkové matice provedením jedné (řádkové) elementární operace. Elementární matice řádu ${\displaystyle n}$ s prvky z komutativního tělesa ${\displaystyle T}$ generují obecnou lineární grupu ${\displaystyle GL_{n}(T)}$. Maticový součin s elementární maticí zleva reprezentuje elementární řádkové operace, zatímco součin zprava reprezentuje elementární sloupcové operace.

Elementární řádkové operace se používají v Gaussově eliminační metodě pro převod matice na odstupňovaný tvar, případně v Gaussově–Jordanově eliminační metodě pro další převod matice na redukovaný odstupňovaný tvar.

Elementární řádkové operace

Existují tři typy elementárních matic, které odpovídají třem typům řádkových operací (případně sloupcovým operacím):

Záměna řádků

Řádek matice může být prohozen s jiným řádkem, např. ${\displaystyle i}$-tý řádek s ${\displaystyle j}$-tým, pro ${\displaystyle i\neq j}$:

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

Násobení řádku

Každý prvek v ${\displaystyle i}$-tém řádku je vynásoben nenulovou konstantou.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{kde }}k\neq 0}$

Přičtení násobku řádku

Řádek může být nahrazen součtem tohoto řádku s násobkem jiného řádku.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{kde }}i\neq j}$

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ elementární matice, čili, jak je popsáno níže, ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ je jedna z matic ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij},{\boldsymbol {D}}_{i}(m)}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(m)}$, pak provedení elementární řádkové operace na matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odpovídá součinu matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ s elementární maticí zleva, neboli ${\displaystyle {\boldsymbol {EA}}}$.

Elementární matici pro jakoukoli řádkovou operaci lze získat provedením elementární řádkové operace na jednotkovou matici. Tento fakt lze chápat jako instanci Jonedova lemmatu aplikovaného na kategorii matic.

Záměna řádků

Prvním typem elementární řádkové operace je záměna všech prvků ${\displaystyle i}$-tého řádku s odpovídajícími prvky ${\displaystyle j}$-tého řádku dané matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Příslušnou elementární matici ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij}}$ získáme z jednotkové matice záměnou ${\displaystyle i}$-tého a ${\displaystyle j}$-tého řádku.

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{i,j}={\begin{pmatrix}1\\&\ddots \\&&1\\&&&0&0&\cdots &0&1\\&&&0&1&&&0\\&&&\vdots &&\ddots &&\vdots \\&&&0&&&1&0\\&&&1&0&\cdots &0&0\\&&&&&&&&1\\&&&&&&&&&\ddots \\&&&&&&&&&&1\\\end{pmatrix}}}$

Formálně:

${\displaystyle ({\boldsymbol {T}}_{i,j})_{k,l}={\begin{cases}1&{\text{pro }}(k,l)=(i,j){\text{ nebo }}(k,l)=(j,i),\\1&{\text{pro }}k=l\neq i,j,\\0&{\text{jinak}}.\\\end{cases}}}$

Matice vzniklá vzájemnou záměnou ${\displaystyle i}$-tého a ${\displaystyle j}$-tého řádku v matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je rovna matici ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij}{\boldsymbol {A}}}$.

Vlastnosti

• Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij}}$ je sama k sobě inverzní: ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij}^{-1}={\boldsymbol {T}}_{ij}}$.
• Determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij}}$ je roven minus jedné: ${\displaystyle \det {\boldsymbol {T}}_{ij}=-1}$. Pro každou čtvercovou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odpovídající velikosti platí: ${\displaystyle \det({\boldsymbol {T}}_{ij}{\boldsymbol {A}})=-\det {\boldsymbol {A}}}$.

Nenulový násobek řádku

Dalším typem elementární řádkové operace na je vynásobení všech prvků v ${\displaystyle i}$-tém řádku dané matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ nenulovým skalárem ${\displaystyle m}$ z tělesa ${\displaystyle T}$ (obvykle jde o reálné nebo komplexní číslo). Příslušná elementární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{i}(m)}$ je diagonální matice, jejíž všechny prvky na diagonále jsou jedničky, kromě ${\displaystyle i}$-té pozice obsahující ${\displaystyle m}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{i}(m)={\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}}}$

Formálně:

${\displaystyle ({\boldsymbol {D}}_{i}(m))_{k,l}={\begin{cases}m&{\text{pro }}k=l=i,\\1&{\text{pro }}k=l\neq i,\\0&{\text{jinak}}.\\\end{cases}}}$

Matice vzniklá z ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ vynásobením ${\displaystyle i}$-tého řádku číslem ${\displaystyle m}$ je rovna matici ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{i}(m){\boldsymbol {A}}}$.

Vlastnosti

• Inverzní matice k ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{i}(m)}$ je diagonální. Platí: ${\displaystyle ({\boldsymbol {D}}_{i}(m))^{-1}={\boldsymbol {D}}_{i}(1/m)}$.
• Determinant splňuje: ${\displaystyle \det({\boldsymbol {D}}_{i}(m))=m}$. Pro čtvercovou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odpovídající velikosti platí ${\displaystyle \det({\boldsymbol {D}}_{i}(m){\boldsymbol {A}})=m\det {\boldsymbol {A}}}$.

Přičtení násobku řádku

Posledním typem řádkové operace je přičtení ${\displaystyle m}$-násobku ${\displaystyle j}$-tého řádku k ${\displaystyle i}$-tému řádku matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, kde ${\displaystyle m}$ je libovolný skalár. Příslušná elementární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(m)}$ je trojúhelníková matice vzniklá z jednotkové matice doplněním hodnoty ${\displaystyle m}$ na pozici ${\displaystyle (i,j)}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(m)={\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}}}$

Formálně:

${\displaystyle ({\boldsymbol {L}}_{i,j}(m))_{k,l}={\begin{cases}m&{\text{pro }}(k,l)=(i,j),\\1&{\text{pro }}k=l,\\0&{\text{jinak}}.\\\end{cases}}}$

Přičtení ${\displaystyle m}$-násobku ${\displaystyle j}$-tého řádku k ${\displaystyle i}$-tému řádku v matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ dává matici ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(m){\boldsymbol {A}}}$.

Vlastnosti

• Odpovídající transformace jsou určitým druhem zkosení (anglicky transvections).
• Inverzní matice k ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(m)}$ je trojúhelníková. Platí: ${\displaystyle ({\boldsymbol {L}}_{ij}(m))^{-1}={\boldsymbol {L}}_{ij}(-m)}$.
• Determinant splňuje ${\displaystyle \det({\boldsymbol {L}}_{ij}(m))=1}$. Pro čtvercovou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odpovídajícího řádu platí ${\displaystyle \det({\boldsymbol {L}}_{ij}(m){\boldsymbol {A}})=\det {\boldsymbol {A}}}$.

Elementární sloupcové operace

Elementární sloupcové operace odpovídají součinům s elementárními maticemi zprava:

• Matice vzniklá vzájemnou záměnou ${\displaystyle i}$-tého a ${\displaystyle j}$-tého sloupce v matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je rovna matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {T}}_{ij}}$.

• Matice vzniklá z ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ vynásobením ${\displaystyle i}$-tého sloupce skalárem ${\displaystyle m}$ je rovna matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {D}}_{i}(m)}$.

• Přičtení ${\displaystyle m}$-násobku ${\displaystyle j}$-tého sloupce k ${\displaystyle i}$-tému sloupci v matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ dává matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {L}}_{ij}(m)}$.

Společné vlastnosti

Elementární operace záměna řádků a přičtení násobku řádku lze odvodit z operací násobku řádků a prostého přičtení řádku (čili přičtení 1-násobku).

Formálně:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(m)={\boldsymbol {D}}_{j}(1/m)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)\cdot {\boldsymbol {D}}_{j}(m)}$ neboli přičtení ${\displaystyle m}$-násobku ${\displaystyle j}$-tého řádku k ${\displaystyle i}$-tému lze realizovat jako posloupnost operací:
  • vynásobení ${\displaystyle j}$-tého řádku nenulovým skalárem ${\displaystyle m}$,
  • přičtení již vynásobeného ${\displaystyle j}$-tého řádku k ${\displaystyle i}$-tému,
  • vydělením ${\displaystyle j}$-tého řádku nenulovým skalárem ${\displaystyle m}$ se obnoví jeho původní hodnoty.

• ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij}={\boldsymbol {D}}_{j}(-1)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ji}(-1)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)}$, přičemž za ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ji}(-1)}$ lze dosadit součin ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{j}(-1)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)\cdot {\boldsymbol {D}}_{j}(-1)}$ podle předchozího předpisu a získat ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}_{ij}={\boldsymbol {D}}_{j}(-1)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)\cdot {\boldsymbol {D}}_{j}(-1)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)\cdot {\boldsymbol {D}}_{j}(-1)\cdot {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)}$.

V důsledku stačí uvažovat jen operace násobku a přičtení, je-li třeba dokázat, že elementární operace zachovávají vybrané vlastnosti matic, jako např. hodnost nebo jádro. Argumenty mohou být jednodušší i z toho důvodu, že matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}_{i}(m)}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{ij}(1)}$ se od jednotkové matice liší pouze v jednom prvku.

Analogické vztahy platí i pro sloupcové operace.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Elementary matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Gaussova eliminační metoda
• Lineární algebra
• Soustava lineárních rovnic
• Matice
• LU rozklad
• Frobeniova matice