Frobeniova matice

Možná hledáte: Frobeniova maticová norma.

Frobeniova matice je v numerické matematice speciální druh čtvercové matice, která splňuje následující tři vlastnosti:

  • všechny položky na hlavní diagonále jsou jedničky
  • položky v jednom libovolném sloupci pod hlavní diagonálou jsou libovolné
  • všechny ostatní položky jsou nulové

Frobeniova matice tady vypadá takto:

A = ( 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 a 32 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 2 0 ⋯ 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}

Frobeniovy matice jsou pojmenované po Ferdinandu Georgu Frobeniovi. Někdy se také nazývají Gaussovy transformace po Carlu Friedrichu Gaussovi.[1] Frobeniovy matice se používají při Gaussově eliminační metodě pro reprezentaci gaussovských transformací.

Násobení libovolné matice zleva (levé násobení) Frobeniovou maticí odpovídá přičtení určité lineární kombinace zbývajících řádků k určitému řádku matice. Násobení inverzní maticí odpovídající lineární kombinaci od daného řádku odečte. To odpovídá jedné elementární operaci při gaussovské eliminaci (vedle transpozice řádků a násobení řádku skalárem).

Vlastnosti

Frobeniovy matice jsou invertibilní. Inverzí Frobeniovy matice je opět Frobeniova matice, která se od původní matice liší obrácenými znaménky čísel mimo hlavní diagonálu. Inverzní matice k výše uvedené matici tedy je:

A − 1 = ( 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 − a 32 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 − a n 2 0 ⋯ 1 ) {\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}

Tento vzorec lze dokonce zobecnit na jakoukoli mocninu matice. Pro všechna k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } platí:

A k = ( 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 k ⋅ a 32 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 k ⋅ a n 2 0 ⋯ 1 ) = I + k ⋅ ( A − I ) {\displaystyle A^{k}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&k\cdot a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&k\cdot a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}=I+k\cdot (A-I)}

Odkazy

Poznámky

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Frobenius matrix na anglické Wikipedii a Frobeniusmatrix na německé Wikipedii.

  • GOLUB, Gene H.; VAN LOAN, Charles F., 1996. Matrix Computations. 3. vyd. [s.l.]: Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X (vázané), ISBN 0-8018-5414-8 (brožované). 

Související články

  • Elementární matice – speciální případ Frobeniovy matice s jedinou nenulovou hodnotou mimo diagonálu
Pahýl
Pahýl
 Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.