Tô pô phần bù hữu hạn

Tô pô phần bù hữu hạn là tô pô có thể định nghĩa trên mỗi tập ${\displaystyle X}$. Nó bao gồm tập rỗng và các tập mở là các tập con của ${\displaystyle X}$ có phần bù là hữu hạn. Do đó, trong tô pô phần bù hữu hạn, chỉ những tập đóng hoặc ${\displaystyle X}$ là hữu hạn. Rõ ràng hơn, ta có thể viết tô pô phần bù hữu hạn như sau:

${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\text{ hoặc }}X\setminus A{\text{ hữu hạn}}\}}$

Tính chất

Mọi tập con ${\displaystyle A}$ của không gian tô pô ${\displaystyle X}$ với tô pô phần bù hữu hạn là compact.

Chứng minh.

Giả sử ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}}$ là một phủ mở của ${\displaystyle A}$. Khi đó

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

nên

${\displaystyle X\setminus A=\bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}}$

Vì mỗi ${\displaystyle X\setminus U_{i}}$ là hữu hạn nên ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}}$ cũng hữu hạn. Do đó ta có thể chọn ra hữu hạn tập ${\displaystyle X\setminus U_{i}}$ (${\displaystyle i\in J}$ với ${\displaystyle J\subset I}$ và ${\displaystyle |J|<\infty }$) sao cho

${\displaystyle X\setminus A=\bigcap _{i\in J}X\setminus U_{i}}$

Do đó

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in J}U_{i}}$

Vậy ${\displaystyle A}$ compact.

Hệ quả

Một không gian tô-pô phần bù hữu hạn là một không gian compact.

Tham khảo

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 050744