Kronecker delta

Trong toán học, ký hiệu Kronecker delta là một hàm số của hai biến, thường là các số nguyên không âm. Hàm số có giá trị 1 nếu hai biến bằng nhau, và 0 nếu chúng khác nhau:

δ i j = { 1 i = j , 0 i ≠ j . {\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&\quad i=j,\\0&\quad i\neq j.\end{cases}}}
hoặc bằng dấu ngoặc Iverson:
δ i j = [ i = j ] {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}
trong đó Kronecker delta δij là một hàm số xác định theo từng khoảng của các giá trị i và j. Ví dụ, δ1 2 = 0, còn δ3 3 = 1. Hàm Kronecker delta xuất hiện thường xuyên trong các ngành toán học, vật lý, và kỹ thuật để đơn giản hóa định nghĩa ở trên. Hàm số được đặt tên theo Leopold Kronecker.

Trong đại số tuyến tính, ma trận đơn vị I kích thước n × n có các phần tử xác định bằng Kronecker delta:

I i j = δ i j {\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}
trong đó i và j mang các giá trị 1, 2, ..., n. Ngoài ra, tích trong của các vectơ có thể được viết dưới dạng
a ⋅ b = ∑ i , j = 1 n δ i j a i b j = ∑ i = 1 n a i b i . {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}\delta _{ij}a_{i}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}

Thông thường, hàm Kronecker delta chỉ được xét trên tập số nguyên, tuy nhiên nó có thể được định nghĩa trên một tập hợp bất kỳ.

Tính chất

Ta có những đẳng thức sau

∑ j δ i j a j = a i , ∑ i a i δ i j = a j , ∑ k δ i k δ k j = δ i j . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}
Do đó, ma trận δ có thể được coi như một ma trận đơn vị.

Một dạng khác cũng đôi khi được sử dụng là dạng chuỗi cấp số nhân:

δ n m = 1 N ∑ k = 1 N e 2 π i k N ( n − m ) {\displaystyle \delta _{nm}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}}

Ký hiệu

Ta có thể biểu diễn Kronecker delta bằng dấu ngoặc Iverson:

δ i j = [ i = j ] . {\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}

Ngoài ra, ký hiệu một biến δi cũng thường xuất hiện, tương đương với việc cho j = 0:

δ i = { 1 , i = 0 , 0 , i ≠ 0. {\displaystyle \delta _{i}={\begin{cases}1,&\quad i=0,\\0,&\quad i\neq 0.\end{cases}}}

Trong đại số tuyến tính, Kronecker delta có thể được coi là một tensor và ký hiệu bằngδi
j. Đôi khi nó được gọi là tensor thay thế.[1]

Xem thêm

Tham khảo

  1. ^ Trowbridge, J. H. (1998). “On a Technique for Measurement of Turbulent Shear Stress in the Presence of Surface Waves”. Journal of Atmospheric and Oceanic Technology. 15 (1): 291. Bibcode:1998JAtOT..15..290T. doi:10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2.
  • x
  • t
  • s
Tensor
Glossary of tensor theory
Scope
Toán học
Ký hiệu
  • Ký hiệu chỉ số
  • Ký hiệu đa chỉ số
  • Ký hiệu Einstein
  • Vi tích phân Ricci
  • Ký hiệu đồ họa Penrose
  • Ký hiệu Voigt
  • Ký hiệu chỉ số trừu tượng
  • Tetrad (ký hiệu chỉ số)
  • Ký hiệu Van der Waerden
Tensor
Các định nghĩa
  • tensor (intrinsic definition)
  • tensor field
  • tensor density
  • tensors in curvilinear coordinates
  • mixed tensor
  • antisymmetric tensor
  • symmetric tensor
  • tensor operator
  • tensor bundle
Các Phép toán
  • tensor product
  • exterior product
  • tensor contraction
  • transpose (2nd-order tensors)
  • raising and lowering indices
  • Hodge star operator
  • covariant derivative
  • exterior derivative
  • exterior covariant derivative
  • Lie derivative
Related
abstractions
Notable tensors
Toán học
  • Kronecker delta
  • Levi-Civita symbol
  • metric tensor
  • nonmetricity tensor
  • Christoffel symbols
  • Ricci curvature
  • Riemann curvature tensor
  • Weyl tensor
  • torsion tensor
Vật lý học
  • moment of inertia
  • angular momentum tensor
  • spin tensor
  • Cauchy stress tensor
  • stress–energy tensor
  • EM tensor
  • gluon field strength tensor
  • Einstein tensor
  • metric tensor (GR)
Nhà toán học