Hàm phi Euler

Trong lý thuyết số, hàm số Euler của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n, nguyên tố cùng nhau với n ( ${\displaystyle \phi (n)}$ là số nguyên tố cùng nhau với n trong đoạn từ 1 đến n) . Hàm Euler được ký hiệu bởi ${\displaystyle \phi (n)}$ hoặc ${\displaystyle \varphi (n)}$, do đó hàm được gọi làm hàm phi Euler.

Chẳng hạn, ${\displaystyle \phi (9)=6}$ vì có sáu số 1, 2, 4, 5, 7 và 8 là nguyên tố cùng nhau với 9.

Hàm số ${\displaystyle \phi }$ trong tiếng Anh còn được gọi là hàm "totient".

Hàm này thường được gọi là hàm số Euler, theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, người đã nghiên cứu nó và ký hiệu nó bằng chữ cái Hy Lạp Phi (${\displaystyle \phi }$). Đối totient của n được định nghĩa là ${\displaystyle n-\phi (n)}$, nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà không nguyên tố với n.

Hàm phi có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước của nhóm nhân các số nguyên modulo n. Quan trọng hơn ${\displaystyle \phi (n)}$ là cấp của nhóm các đơn vị trong vành có đơn vị ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

Tính giá trị hàm phi Euler

Công thức

Từ định nghĩa chúng ta có ${\displaystyle \phi (1)=1}$, và ${\displaystyle \phi (n)=(p-1)p^{k-1}}$ với n là lũy thừa bậc k của số nguyên tố p (${\displaystyle n=p^{k}}$) . Ngoài ra, ${\displaystyle \phi }$ là một hàm nhân tính; nếu m và n là nguyên tố cùng nhau thì ${\displaystyle \phi (mn)=\phi (m)\phi (n)}$. (Tóm lược chứng minh: gọi A, B, C là các tập hợp các lớp đồng dư tương ứng theo các modulo m, n, mn; khi đó có một song ánh giữa ${\displaystyle A\times B}$ và ${\displaystyle C}$, (theo [[định lý số dư Trung Quốc]]).) Giá trị của ${\displaystyle \phi (n)}$ có thể tính được khi sử dụng định lý cơ bản của số học:

Nếu

${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$

trong đó các ${\displaystyle p_{j}}$ là các số nguyên tố phân biệt, thì

${\displaystyle \varphi (n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1}\cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}}$

Công thức này là một tích Euler và thường được viết là

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

với tích chạy qua các số nguyên tố ${\displaystyle p}$ là ước của ${\displaystyle n}$.

Ví dụ

${\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(3^{2}2^{2}\right)=36\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=36\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=12}$

Một số giá trị

100 giá trị đầu tiên (dãy số A000010 trong bảng OEIS) được hiển thị trong bảng và đồ thị dưới đây:

φ(n) với 1 ≤ n ≤ 100

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4
10	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8
20	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8
30	30	16	20	16	24	12	36	18	24	16
40	40	12	42	20	24	22	46	16	42	20
50	32	24	52	18	40	24	36	28	58	16
60	60	30	36	32	48	20	66	32	44	24
70	70	24	72	36	40	36	60	24	78	32
80	54	40	82	24	64	42	56	40	88	24
90	72	44	60	46	72	32	96	42	60	40

Các tính chất

Số ${\displaystyle \varphi (n)}$ cũng bằng số các phần tử sinh có thể của nhóm cyclic ${\displaystyle C_{n}}$ (và do đó cũng là bậc của đa thức cyclotomic ${\displaystyle \varphi _{n}}$). Từ đó mọi phần tử của ${\displaystyle C_{n}}$ sinh ra một nhóm con cyclic của ${\displaystyle C_{n}}$ va có dạng ${\displaystyle C_{d}}$ trong đó d là ước số của n (ký hiệu ${\displaystyle d|n}$), ta có

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}$

trong đó tổng trải trên tất cả các ước dương d của n.

Chúng ta cũng có thể sử dụng công thức đảo ngược Möbius để "đảo ngược" tổng này và được một công thức khác đối với hàm ${\displaystyle \varphi (n)}$:

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}$

trong đó ${\displaystyle \mu }$ là hàm Möbius xác định trên các số nguyên dương.

Theo Định lý Euler, nếu a nguyên tố cùng nhau với n, nghĩa là, ƯCLN(a,n) = 1, thì

${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.}$

Điều này suy ra từ Định lý Lagrange và từ việc a thuộc nhóm nhân modulo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ nếu và chỉ nếu a nguyên tố cùng nhau với n.

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Miyata, Daisuke & Yamashita, Michinori, Derived logarithmic function of Euler's function Lưu trữ 2010-07-14 tại Wayback Machine
• Bordellès, Olivier, [https://web.archive.org/web/20071221223328/http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?5,359275,359275 Lưu trữ 2007-12-21 tại Wayback Machine Numbers prime to q in ${\displaystyle [1,n]}$]