Butterworth filtre

Butterworth-Filtre

Butterworth filtre passband içinde mümkün olduğu kadar düz bir frekans responsa (frekans tepkisi) sahip olabilmek için dizayn edilmiş bir Sinyal işleme filtre tipidir. Ayrıca maksimum düz magnitüd filtre olarak da tarif edilir. İlk defa 1930 yılında ingiliz mühendis ve fizikçi Stephen Butterworth tarafından "On the Theory of Filter Amplifiers".[1] makalesinde tarif edilmiştir.

ilk Butterworth low-pass filtre'nin çizimi

Durdurma bandında ve geçiş bandında dalgalanma olmaz. Geçiş bandı içinde maksimum düz bir frekans tepkisine sahiptir, durdurma bandı içinde ise sıfıra doğru yaklaşır. Butterworth filtre derecesi arttığında diğer filtrelerden farklı olarak durma bandında sert düşüş dışında frekans genlik eğrisinde şeklini korur. Butterworth filtre, Chebyshev filtre ve Eliptik filtrelere göre daha geniş geçiş bölgesine sahip olduğundan, durma bandı özelliklerinin doğru olarak uygulanabilmesi için yüksek derecelere ihtiyaç duyar. Chebyshev filtre ve Eliptik filtreye göre daha doğrusal bir frekans tepkisine sahiptir.

Transfer fonksiyonu

Butterworth low-pass filtrenin kazancının çizimi (Derece: 1 - 5), cutoff frekansı ω 0 = 1 {\displaystyle \omega _{0}=1} .

n-inci dereceden Butterworth low pass filter H(s)'in kazancı G ( ω ) {\displaystyle G(\omega )}

G 2 ( ω ) = | H ( j ω ) | 2 = G 0 2 1 + ( ω ω c ) 2 n {\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}
  • n = filtrenin derecesi
  • ωc = cutoff frekansı (yaklaşık -3 dB frekans)
  • G 0 {\displaystyle G_{0}} = DC kazanç (sıfır frekansta kazanç)
H ( s ) H ( − s ) = G 0 2 1 + ( − s 2 ω c 2 ) n . {\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}}.}
− s k 2 ω c 2 = ( − 1 ) 1 n = e j ( 2 k − 1 ) π n k = 1 , 2 , 3 , … , n {\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad \mathrm {k=1,2,3,\ldots ,n} }
s k = ω c e j ( 2 k + n − 1 ) π 2 n k = 1 , 2 , 3 , … , n . {\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad \mathrm {k=1,2,3,\ldots ,n} .}
H ( s ) = G 0 ∏ k = 1 n ( s − s k ) / ω c . {\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c}}}.}

Normalize edilmiş Butterworth polinom

B n ( s ) = ∏ k = 1 n 2 [ s 2 − 2 s cos ⁡ ( 2 k + n − 1 2 n π ) + 1 ] n = e v e n {\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad \mathrm {n=even} }
B n ( s ) = ( s + 1 ) ∏ k = 1 n − 1 2 [ s 2 − 2 s cos ⁡ ( 2 k + n − 1 2 n π ) + 1 ] n = o d d . {\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad \mathrm {n=odd} .}
n Polinom B n ( s ) {\displaystyle B_{n}(s)}
1 ( s + 1 ) {\displaystyle (s+1)}
2 s 2 + 1.4142 s + 1 {\displaystyle s^{2}+1.4142s+1}
3 ( s + 1 ) ( s 2 + s + 1 ) {\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}
4 ( s 2 + 0.7654 s + 1 ) ( s 2 + 1.8478 s + 1 ) {\displaystyle (s^{2}+0.7654s+1)(s^{2}+1.8478s+1)}
5 ( s + 1 ) ( s 2 + 0.6180 s + 1 ) ( s 2 + 1.6180 s + 1 ) {\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.6180s+1)(s^{2}+1.6180s+1)}
6 ( s 2 + 0.5176 s + 1 ) ( s 2 + 1.4142 s + 1 ) ( s 2 + 1.9319 s + 1 ) {\displaystyle (s^{2}+0.5176s+1)(s^{2}+1.4142s+1)(s^{2}+1.9319s+1)}
7 ( s + 1 ) ( s 2 + 0.4450 s + 1 ) ( s 2 + 1.2470 s + 1 ) ( s 2 + 1.8019 s + 1 ) {\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.4450s+1)(s^{2}+1.2470s+1)(s^{2}+1.8019s+1)}
8 ( s 2 + 0.3902 s + 1 ) ( s 2 + 1.1111 s + 1 ) ( s 2 + 1.6629 s + 1 ) ( s 2 + 1.9616 s + 1 ) {\displaystyle (s^{2}+0.3902s+1)(s^{2}+1.1111s+1)(s^{2}+1.6629s+1)(s^{2}+1.9616s+1)}
H ( s ) = G 0 B n ( a ) {\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}} , where a = s ω c . {\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}

Diğer Lineer Filtrelerle Karşılaştırma

Kaynakça

  1. ^ In Wireless Engineer (also called Experimental Wireless and the Wireless Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536–541 - "On the Theory of Filter Amplifiers"-S. Butterworth 21 Mayıs 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Matthaei, George L.; Young, Leo and Jones, E. M. T., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, McGraw-Hill, 1964 LCCN-647937-{{{3}}}.