Çok değişkenli kalkülüs

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Ortalama değer teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan
g t d

Çok değişkenli kalkülüs veya Çok değişkenli hesaplama, matematik biliminin bir alt alanıdır. Bir değişkenli hesapların, birden fazla değişkenli fonksiyonlarla hesaplara yayılması ve tek değişken yerine çoklu değişken içeren fonksiyonların entegrasyonu olarak görülür. Matris, tensör, kısmi türev, çokkatlı integral, çizgi integrali, yüzey integrali, hacim integrali, Jacobi, Hesse, Gradyan gibi inceleme alanları vardır.^[1]

Tipik işlemler

Limit ve süreklilik

Çok değişkenli analizde limitler ve süreklilik çalışması, tek değişkenli fonksiyonlarla gösterilmeyen birçok sonuçları üretir.^[2]

Örneğin, kendi alanlarında farklı yollara yaklaşıldığında farklı sınırlar veren iki değişkenli skaler fonksiyonlar vardır. Örneğin, fonksiyon

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$

noktaya orijinden geçen çizgiler boyunca yaklaştığında sıfıra ${\displaystyle (0,0)}$ yaklaşır/ (${\displaystyle y=kx}$) Ancak, orijine bir parabol ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ boyunca yaklaştığında, fonksiyon değeri ${\displaystyle \pm 0.5}$ ile sınırlanır. Aynı noktaya doğru farklı yollar almak farklı limit değerleri verdiğinden, orada genel bir limit bulunmaz.

Her bir argümandaki sürekliliğin, çok değişkenli süreklilik için yeterli olmadığı da aşağıdaki örnekten görülebilir.^[2] Özellikle, gerçek değerli bir fonksiyonun, iki gerçek değerli parametre ile, ${\displaystyle f(x,y)}$, sabit ${\displaystyle y}$ için ${\displaystyle f}$ nin ${\displaystyle x}$ in devamlılığı ve sabit ${\displaystyle x}$ için ${\displaystyle f}$ nin ${\displaystyle y}$ nin devamlılığı, ${\displaystyle f}$ nin devamlılığı anlamına gelmez.

Kısmi türev

Çoklu entegrasyon

Çok boyutlı hesaplamaların temel teoremleri

• Gradyan teoremi
• Stokes teoremi
• Uzaklaşma teoremi
• Green teoremi

Uygulama alanları

Çok değişkenli analizin teknikleri, maddi dünyada ilgi duyulan birçok inceleyi gerçekleştirmek için kullanılır. Başta gelenleri şunlardır:

		Fonksiyon türleri	Uygulanabilir teknikler
Eğriler		${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ iken	Eğrilerin uzunlukları, çizgi integralleri ve eğrilik.
Yüzeyler		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>2}$ iken	Yüzeylerin alanları, yüzey integralleri, yüzeyler boyunca akış ve eğrilik.
Sayıl alanlar		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$	Maksimum ve minimum, Lagrange çarpanları, yönlü türevler, seviye kümeleri.
Vektör alanı		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$	Gradyan, diverjans veya rotasyonel içeren herhangi bir vektör hesabı işlemi.

Kaynakça

Dış bağlantılar

• "Çok değişkenli Calculus MIT Video konferanslar" (İngilizce). 2 Temmuz 2014. 11 Haziran 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Kasım 2019. 
• "Çok değişkenli Matematik: George Cain ve James Herod tarafından ücretsiz çevrimiçi ders kitabı" (İngilizce). 1996. 14 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Kasım 2019. 
• "Çok Değişkenli Analiz: Jeff Knisley tarafından ücretsiz çevrimiçi ders kitabı" (İngilizce). Ocak 2014. 25 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Kasım 2019. 
• Perot, Prof. Blair (2011). "Çok Değişkenli Analiz - Çok Hızlı Bir İnceleme" (İngilizce). University of Massachusetts Amherst. 31 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Kasım 2019.