Unitär matris

En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga

U U H = U H U = I {\displaystyle UU^{H}=U^{H}U=I\,}

där I är enhetsmatrisen och U H {\displaystyle U^{H}} är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element).

En komplexvärd kvadratisk matris

U = ( u 11 ⋯ u 1 n ⋮ ⋱ ⋮ u n 1 ⋯ u n n ) {\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&\cdots &u_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n1}&\cdots &u_{nn}\end{pmatrix}}}

är således unitär om dess invers ges av

U − 1 = ( u 11 ¯ ⋯ u n 1 ¯ ⋮ ⋱ ⋮ u 1 n ¯ ⋯ u n n ¯ ) , {\displaystyle U^{-1}={\begin{pmatrix}{\overline {u_{11}}}&\cdots &{\overline {u_{n1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {u_{1n}}}&\cdots &{\overline {u_{nn}}}\end{pmatrix}},}

där u k l ¯ {\displaystyle {\overline {u_{kl}}}} betecknar komplexkonjugatet av det komplexa talet u k l {\displaystyle u_{kl}} , det vill säga om

u k l = a k l + i b k l {\displaystyle u_{kl}=a_{kl}+ib_{kl}\,}

där a k l {\displaystyle a_{kl}} och b k l {\displaystyle b_{kl}} är reella tal, är

u k l ¯ = a k l − i b k l . {\displaystyle {\overline {u_{kl}}}=a_{kl}-ib_{kl}.}

Exempel

Matrisen

U = ( 0 i i 0 ) {\displaystyle U={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}

är unitär, eftersom

U U H = ( 0 i i 0 ) ( 0 − i − i 0 ) = ( − i 2 0 0 − i 2 ) = ( 1 0 0 1 ) = I {\displaystyle U\,U^{H}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}

Egenskaper

För en unitär matris U gäller

  • Egenvärdena till U har absolutbeloppet 1
  • För två komplexa vektorer x och y, bevaras vektorernas inre produkt (skalärprodukt) vid multiplikation med U, det vill säga
⟨ U x ,   U y ⟩ = ⟨ x ,   y ⟩ {\displaystyle \langle Ux,\ Uy\rangle =\langle x,\ y\rangle }
  • U är en normal matris
  • U är diagonaliserbar
  • | det U | = 1 {\displaystyle |\det U|=1}


v • r
Linjär algebra
Grundläggande begrepp
Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet
Bild på euklidiska rummet
Vektoralgebra
Matriser
Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition
Multilinjär algebra
Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor
Konstruktioner
Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt
Numerik
Kategori Kategori