Tjebysjovpolynom

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Definition

Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}.}$

De kan även definieras trigonometriskt som

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!.}$

Deras genererande funktion är

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

Den exponentiella genererande funktionen är

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\tfrac {1}{2}}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}$

En annan genererande funktion är

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.}$

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Deras genererande funktion är

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}$

Egenskaper

För varje icke-negativt heltal n är T_n(x) och U_n(x) polynom av grad n.

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (L_n), Dicksonpolynomen (D_n) och Fibonaccipolynomen (F_n) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

${\displaystyle T_{j}(x)T_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)\right),\quad \forall j,k\geq 0\,}$

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

${\displaystyle T_{j}(x)U_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(U_{j+k}(x)+U_{k-j}(x)\right),\quad \forall j,k.}$

En formel analogisk till

${\displaystyle T_{n}\left(\cos \theta \right)=\cos(n\theta )}$

är

${\displaystyle T_{2n+1}\left(\sin \theta \right)=(-1)^{n}\sin((2n+1)\theta )}$.

För ${\displaystyle x\neq 0}$ är

${\displaystyle T_{n}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)={\tfrac {1}{2}}\left(x^{n}+x^{-n}\right)}$ and

${\displaystyle x^{n}=T_{n}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(x-x^{-1}\right)U_{n-1}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)}$

som följer ur definitionen genom att låta ${\displaystyle x=e^{i\theta }}$.

Låt

${\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)}$

då är

${\displaystyle C_{n}\left(C_{m}(x)\right)=C_{m}(C_{n}(x)).}$

Ortogonalitet

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}$

Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }$

${\displaystyle T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}$

${\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x),}$

${\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,\,{\text{udda}}}^{n}T_{j}(x)}$, där n är udda.

${\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,{\text{jämnt}}}^{n}T_{j}(x)-1}$, där n är jämnt.

Explicita uttryck

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ |x|\leq 1\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\tfrac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}\left[1-x\right]\right)\end{aligned}}}$

där ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ är hypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktioner

Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).}$

Se även

• Hermitepolynom
• Legendrepolynom

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 december 2013.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Tjebysjovpolynom.
  Bilder & media