Sammansatt funktion

En illustration av den sammansatta funktionen g ∘ f.

En sammansatt funktion är inom matematiken en funktion som kan bildas genom att sätta samman två funktioner. Tecknet ∘, en mittplacerad ring som uttalas "boll", används för att ange sammansatt funktion. De flesta funktioner som förekommer kan beskrivas som sammansättningar av olika funktioner.

Definition

Vid två givna funktioner f och g definieras sammansättningen av f(x) och g(x) genom

f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle f\circ g(x)=f(g(x))}

Här kallas funktionen g ( x ) {\displaystyle g(x)} den inre funktionen och funktionen f ( x ) {\displaystyle f(x)} den yttre funktionen.

Exempel

Exempel på sammansättning av två funktioner

Låt funktionerna f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} och g ( x ) = x − 3 {\displaystyle g(x)=x-3} vara givna.

Vid sammansättning av f och g blir då den sammansatta funktionen f ∘ g ( x ) = ( x − 3 ) 2 {\displaystyle f\circ g(x)=(x-3)^{2}} . Variabeln x i funktionen f(x) byts ut mot funktionen g(x).

Betraktas istället sammansättningen av g och f får vi g ∘ f ( x ) = x 2 − 3 {\displaystyle g\circ f(x)=x^{2}-3} som den sammansatta funktionen. I detta exempel har istället förekomsterna av x i funktionen g(x) bytts ut mot funktionen f(x).

Eftersom till exempel f ∘ g ( 4 ) = ( 4 − 3 ) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle f\circ g(4)=(4-3)^{2}=1^{2}=1} men g ∘ f ( 4 ) = 4 2 − 3 = 16 − 3 = 13 {\displaystyle g\circ f(4)=4^{2}-3=16-3=13} , är inte f ∘ g ( x ) {\displaystyle f\circ g(x)} samma funktion som g ∘ f ( x ) {\displaystyle g\circ f(x)} . Med andra ord är ∘ {\displaystyle \circ } inte en kommutativ operator.

Ett ytterligare exempel är fallet där f ( x ) = 3 x {\displaystyle f(x)=3x} och g ( x ) = x 3 {\displaystyle g(x)={\frac {x}{3}}} . I detta exempel är funktionerna varandras inverser. Dessa funktioner möjliggör följande sammansättningar: f ∘ g ( x ) = 3 ( x 3 ) = x {\displaystyle f\circ g(x)=3({\frac {x}{3}})=x} och g ∘ f ( x ) = 3 x 3 = x {\displaystyle g\circ f(x)={\frac {3x}{3}}=x} .

Detta visar att sammansättningen av en funktion och dess invers är en funktion som lämnar argumentet oförändrat. Sammansättningen avbildar alltså den inre funktionens definitionsmängd på sig själv.

Referenser

  • Stewart James, "Calculus" 5th edition, (2003), s. 44-45
  • Böiers Lars-Christer, Persson Arne, Analys i en variabel, Tredje upplagan, (2010), Lund: Studentlitteratur, s.92-94